transformada de fourier








TRANSFORMADA DE FOURIER














SAN CRISTÓBAL, JULIO DEL 2013
ÍNDICE



Aproximación a la transformada de Fourier. . . . . . . .-4
Integral de Fourier. . . . . . . . . . .-5
Transformada de Fourier. . . . . . . . . .-7
Transformadas coseno y seno de Fourier. . . . . . . .-9
Propiedades de las transformadas de Fourier. . . . . . -10
Teorema de Parsevaly espectro de energía. . . . . . . -12
Transformada de Fourier de funciones especiales. . . . . . -13
Transformada de Fourier de una función periódica. . . . . . -16





























INTRODUCCIÓN.



En este tema se tratan las operaciones con funciones no periódicas. En la serie de Fourier, se analizó la representación de una función periódica,haciendo uso del análisis de Fourier. Resulta, que no siempre se está en presencia de una función periódica, y aún así, se necesita conocer la representación en el dominio de la frecuencia de una señal dada.
La transformada de Fourier permite hallar la representación en el dominio de la frecuencia de una función no periódica para poder conocer su composición armónica.
En este tema se trata latransformada de Fourier como una extrapolación de la serie de Fourier, para luego determinar la transformada de varias funciones especiales y por último considerar la transformada de una función periódica.





























Aproximación a la transformada de Fourier.

Considere la función fT(t) la cual es periódica de periodo T y que se muestra en la figura #1.Representación gráfica de la función periódica fT(t).
Figura #1

A partir de fT(t) se puede obtener una función f(t) la cual tiene como característica que su periodo tiende a infinito. Esto es, el periodo de la función fT(t) se hace tender a infinito, con lo cual, se obtiene que f(t) no es periódica.

Figura #2
Representación gráfica de la función periódica fT(t)
considerando que elperiodo se hace muy grande.

La figura #2 muestra la función f(t) luego que se ha hecho el periodo tender a infinito en la función fT(t).
La función f(t) se puede definir como:

(Ecuación 1)

De acuerdo a la ecuación #1 la función f(t) no es periódica.





Integral de Fourier.

Considérese la función f(t) definida anteriormente; su representación en serie de Fourier es:(Ecuación 2)

(Ecuación 3)

donde .
Sustituyendo la ecuación 3 en la ecuación 2 se tiene:

(Ecuación 4)

donde se ha cambiado la variable t por x.
Ya que 1/T = w0/2 se tiene que la ecuación 4 se puede escribir como:

(Ecuación 5)


Si se considera que entonces = 0
Hagamos entonces .
De acuerdo a las consideraciones anteriores la ecuación 5 se puede escribir como:(Ecuación 6)

En el limite cuando entonces , con lo cual, la sumatoria de la ecuación 6 se convierte en una integral sobre la variable w, esto es:

(Ecuación 7)

Considerando:

Si cambiamos la variable x por t se tiene:

(Ecuación 8)

Sustituyendo la ecuación 8 en la ecuación 7 se tiene:

(Ecuación 9)

Las ecuaciones 8 y 9 son la representación de Fourier de lafunción no periódica.





























Transformada de Fourier.

La transformada de Fourier se define y se denota como:

(Ecuación 10)

donde f(t) es la función a la cual se desea hallar la transformada de Fourier.
Para indicar la operación transformada de Fourier se utiliza el operador F (la letra “F” gótica).
Dada F(w) es posible hallar f(t)a partir de ella. Este proceso se conoce con el nombre de transformada inversa de Fourier y se denota como:

(Ecuación 11)

donde el operador F -1 indica transformada inversa de Fourier.
Las ecuaciones 10 y 11 se conocen con el nombre de par de transformadas de Fourier.
Para que la transformada de Fourier exista generalmente se considera que:

(Ecuación 12)

La ecuación 12 es...