transformada de la place





MATEMÁTICAS AVANZADAS II




TRANSFORMADA DE LAPLACE
FUNCIONES DE TRANSFERENCIA
SIMULACIÓN
MÉTODO NEWTON-RAPHSON









MIÉRCOLES, 09 DE ABRIL DE 2014
OBJETIVO
Aplicar la Transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales que representan una parte importante en el desarrollo de procesos productivos.
ALCANCE
Desarrollar la competencia de autonomíamediante el uso del paquete matemático computacional así como un simulador que se encuentra presente en el paquete computacional, para el aprendizaje de Matemáticas Avanzada II

ÍNDICE









1. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Sea f(t) una función definida para t ≥ 0, su trasformada de Laplace se define como:

donde s es una variable compleja .
Se dice que la transformada de Laplace def(t) existe si la integral converge.
Pierre-Simón Laplace (1749 - 1827)
“Podemos mirar el estado presente del universo como el efecto del pasado y la causa de su futuro. Se podría condensar un intelecto que en cualquier momento dado sabría todas las fuerzas que animan la naturaleza y las posiciones de los seres que la componen, si este intelecto fuera lo suficientemente vasto para someter losdatos al análisis, podría condensar en una simple fórmula el movimiento de los grandes cuerpos del universo y del átomo más ligero; para tal intelecto nada podría ser incierto y el futuro así como el pasado estarían frente sus ojos.”
Observa que la transformada de Laplace es una integral impropia, uno de sus límites es infinito:

Notación:


, etc.

Nota El parámetro s se considerará aquíreal. Es esto suficiente para las aplicaciones con ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes y algunas de coeficientes variables.
En otros casos es necesario trabajar en el campo complejo, considerando a s como complejo.

Ejemplo1: Sea f(t) = 1, t ≥ 0
→
pues la integral diverge para s ≤ 0
Nota Si fuese complejo s, es decir, entonces y la integral impropia anteriorsólo converge si , es decir Re (s) > 0.

Ejemplo2: Sea f(t) = , t ≥ 0
. Es el caso anterior cambiando s por s – a
Luego:

Ejemplo 3: Sea f(t) =, a ϵ R, t ≥ 0
Cambio: st = x. Entonces , y
Luego:

En particular:


Ejemplo 4: Sea f(t) = cos at ó f(t) = sin at t ≥ 0

→
. Análogamente:
Podría obtenerse mejor así: Trabajando como enlos ejemplos 1 y 2, sustituyendo , resulta:

Por tanto:
Luego

EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA
En los ejemplos anteriores se ha visto por cálculo directo que la integral [1] existe realmente para las funciones consideradas, en algún intervalo de valores de s. Pero eso no ocurre así siempre. Por ejemplo, la integral impropia de [1] no converge para ningún valor de s por crecer estasfunciones demasiado rápido cuando t → 0+ o t →∞ respectivamente. Afortunadamente existe la transformada para la mayor parte de las funciones que aparecen en aplicaciones donde intervienen ecuaciones diferenciales lineales.
TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE




















La transformada de Laplace es un método algebraico para resolver ecuaciones diferenciales ordinariaslineales de coeficientes constantes.
Al aplicar la TdL a este tipo de ecuaciones diferenciales se obtienen funciones racionales en la variable compleja de Laplace ‘s’.

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Linealidad:

Traslación en el tiempo:



Cambio de escala de tiempos:

Multiplicación por la función exponencial:

Diferenciación en el dominio del tiempo:

Integración en eldominio del tiempo:

Diferenciación en el dominio de la frecuencia:

Integración en el dominio de la frecuencia:



2. FUNCIONES DE TRANSFERENCIA

Teoremas de valor inicial y valor final
Teorema del valor inicial

Teorema del valor final


Aplicación a una ecuación diferencial
Dada una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes, como por ejemplo:

Aplicando la...