Transformada de l´place

Christian Paz
INTRODUCCION:
En el presente informe se da a conocer lo más importante relacionado con La Transformada Inversa de Laplace una técnica importante n Ecuaciones. La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras. Estastransformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra variable.
La transformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales. Aunque se pueden resolver algún tipo de ED con coeficientes variables, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes. Unrequisito adicional es el conocimiento de las condiciones iniciales a la misma ED. Su mayor ventaja sale a relucir cuando la función en la variable independiente que aparece en la ED es una función seccionada.
Cuando se resuelven ED usando la técnica de la transformada, se cambia una ecuación diferencial en un problema algebraico. La metodología consiste en aplicar la transformada a la ED yposteriormente usar las propiedades de la transformada. El problema de ahora consiste en encontrar una función en la variable independiente tenga una cierta expresión como transformada.

OBJETIVOS:

1- Saber que significa la Transformada Inversa de Laplace.

2- Analizar cada uno de sus teoremas.

3- Comprender su funcionamiento y forma de resolverlos.

4- Ejecutar ejercicios de modo quese nos facilite su comprensión.

5- Tomar conclusiones para saber en qué nos puede servir n la vida diaria.

Transformada inversa de Laplace
En matemática, la transformada inversa de Laplace de una función F(s) es la función f(t) que cumple con la propiedad donde es la transformada de Laplace.
La transformada de Laplace junto con la transformada inversa de Laplace tiene un número depropiedades que las hacen útiles para el análisis de sistemas dinámicos lineales.
Forma integral
Una fórmula integral para la transformada inversa de Laplace, llamada integral de Bromwich, integral de Fourier-Mellin o fórmula inversa de Mellin, es dada por la integral lineal:
Donde la integración se realiza a lo largo de la línea vertical Re(s) = γ en el plano complejo tal que γ es mayor que laparte real de todas las singularidades de F(s).

Definición de la Transformada
Sea f una función definida para , la transformada de Laplace de f(t) se define como

Cuando tal integral converge
Notas
La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de integración se considera constante
La transformada de Laplace convierte una función en t en una función en la variable sCondiciones para la existencia de la transformada de una función:
De orden exponencial
Continúa a trozos

Definición de la Transformada Inversa
La Transformada inversa de una función en s, digamos F(s) es una función de t cuya transformada es precisamente F(s), es decir

Si es que acaso

Esta definición obliga a que se cumpla:

Y

Tabla de Transformadas
Obtención

Propiedades de laTransformada
En las siguientes propiedades se asume que las funciones f(t) y g(t) con funciones que poseen transformada de Laplace.
Linealidad (Ejemplo)

Idea
La transformada de Laplace se distribuye sobre las sumas o restas y saca constantes que multiplican.
Versión para la inversa:

Primer Teorema de Traslación (Ejemplos)

Donde

Idea
La transformada de Laplace se convierte unfactor exponencial en una traslación en la variable s.
Versión para la inversa:

Teorema de la transformada de la derivada (Ejemplos)

Idea
La transformada de Laplace cancela la derivada multiplicando por la variable s.

Teorema de la transformada de la integral (Ejemplos)

Teorema de la integral de la transformada (Ejemplos)

Teorema de la derivada de la transformada (Ejemplos)...