Transformada de laplace

Transformada de Laplace y sus aplicaciones a las ecuaciones diferenciales
José Salvador Cánovas Peña 8 de enero de 2008

Índice General
1 Transformada de Laplace 1.1 Funciones continuas a trozos. Función de Heaviside . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Definición de Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 1.2.2 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.3.5 1.3.6 1.4.1 1.4.2 1.4.31.5.1 1.5.2 1.5.3 Definición y primeros ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dominio de definición de la Transformada de Laplace . . . . . . . . . Linealidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformada de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformada de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformadade la convolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Primer Teorema de Traslación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Segundo Teorema de Traslación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Derivabilidad de la Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . Teoremas del valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teorema del valor final . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . Inyectividad de la Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . Transformada de Laplace inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fórmula de inversión compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 6 6 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16 17 18 19 19 20 20 23 23 24 24 26 27

1.3 Propiedades de la Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4 Propiedades de la función Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . .

1.5 Transformada de Laplace inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Aplicaciones 2.1 Una primera aproximación al problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Uso de la convolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Sistemas de ecuaciones . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Problemas con funciones discontinuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Funciones de impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

Índice general 2.6 Una aplicación concreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Funciones de transferencia. Estabilidad y control de sistemaseléctricos . . . 29 30

ii

Introducción
Vamos a desarrollar un tema sobre la Transformada de Laplace y su aplicación a la resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Estas ecuaciones surgen de manera natural en el contexto de los circuitos eléctricos. Consideremos por ejemplo el típico circuito LRC de la figura

donde la inductancia L, laresistencia R y la capacidad de condensador C se consideran constantes. Se tiene entonces que la carga q(t) que circula por el circuito está dada por la ecuación Lq 00 (t) + Rq0 (t) + q(t)/C = V (t), y dado que la intensidad I(t) es la derivada de la carga, ésta puede calcularse por la ecuación Z t 0 I(s)ds/C = V (t), LI (t) + RI(t) +
0

o equivalentemente con la ecuación diferencial LI 00 (t) +RI 0 (t) + I(t)/C = V 0 (t), en el caso en que V (t) sea una función derivable. 1

Introducción De forma similar, si tenemos un circuito con varias ramas y más elementos, como por ejemplo

podemos deducir a partir de las leyes de Kirchoff que las intensidades que circulan por los hilos eléctricos del circuito vienen dadas por ⎧ ⎪ 0 = I1 − I2 − I3 , ⎨ 0 0 V 0 (t) = I1 R1 + I1 /C1 + I2 R2 , ⎪ ⎩0 00 0 = −I2 R2 + I3 L + I3 /C2 , Si suponemos los elementos del circuito constantes, salvo a lo mejor el voltaje V (t), que supondremos una función derivable, tenemos un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes.

La Transformada de Laplace es una herramienta que permite transformar los problemas anteriores en problemas algebraicos y, una vez resuelto este...