transformada de laplace

Transformada de Laplace
A l guno s pro blema s que i nvol ucra n ecuacio nes difer en ci ales no hom og én ea s con c o e ficientes c on st antes s uelen tener
como par te no ho mo génea un a funció n f (t) que n o es continua. El análisis de estos problemas es má s s encillo cu ando
se utiliza el método de la transformada de Laplace.
1.1. Definición de la Transformada de Laplace
Definition1 (Transformada de Laplace) Sea f (t) una función con dominio en [0, ∞). La Transformada de
Laplace de f (t) es la función F (s) que se obtiene como sigue
F (s) := Z ∞
0
f (t) e−stdt (1)
Nótese qu e F (s) es una fu nción e n l a va ria ble s cuyo do minio consta de to dos los valor es de s par a lo s c ua les l a
integral (1) existe es decir es convergente. Además (1) es una integralimpropia, por lo que
Z ∞
0
f (t) e−stdt= l´ım
n→∞ Z n
0
f (t) e−stdt (2)
lo cual restringe las funciónes f (t) que para las cuales puede existir transformada de Laplace.
No ta tion 2 La transf ormada de Laplace de una función cualq ui era se denota util izando l a l etra mayúscula correspondiente
a la función Transformada o utilizando notación de operadores como L{.}; por ejemplo la transformadade Laplace de una función g (t) se denotaría como G (s) o L {g} (t).
Una primera forma de obtener la transformada de Laplace de una función, si es que esta tiene, nos la proporciona
la definición, es decir que si tenemos una función f (t) cualesquiera, su transformada de Laplace se obtiene evaluando
la integral dada en (1) o en forma equivalente (2) como en los siguientes ejemplos:
Example 3Determine la transformada de Laplace de las siguientes funciones:
1. f (t) = et
Solution 4 Utilizando la definición
F (s) = Z ∞
0
f (t) e−stdt
= Z ∞
0
ete−stdt
= Z ∞
0
e−t(s−1)dt
= l´ım
n→∞ Z n
0
e−t(s−1)dt
= l´ım
n→∞μ1 − e−n(s−1)
s − 1 ¶
=
1
s − 1
l´ım
n→∞ ³1 − e−n(−1+s)´
Evaluando el límite de la última expresión nos damos cuenta que
l´ım
n→∞ ³1 − e−n(s−1)´= l´ım
n→∞(1) − l´ım
n→∞ ³e−n(s−1)´
1
de donde
l´ım
n→∞
(1) = 1
y
l´ım
n→∞ ³e−n(s−1)´= 0
siempre y cuando s > 1, de otra manera este límite no existiría.
Por lo tanto la transformada de Laplace de f (t) = et es
F (s) =
1
s − 1
2. g (t) = 3
Solution 5 Utilizando la definición
G (s) = Z ∞
0
g (t) e−stdt
= Z ∞
0
3e−stdt
= 3Z ∞
0
e−stdt
= 3 l´ım
n→∞ Z n
0
e−stdt
= 3 l´ım
n→∞μ1 −e−ns
s ¶
=
3
s
l´ım
n→∞ ¡1 − e−ns¢ Evaluando el límite de la última expresión nos damos cuenta que
l´ım
n→∞ ¡1 − e−ns¢= l´ım
n→∞
(1) − l´ım
n→∞ ¡e−ns¢ de donde
l´ım
n→∞
(1) = 1
y
l´ım
n→∞ ¡e−ns¢= 0
siempre y cuando s ≥ 0, de otra manera este límite no existiría.
Por lo tanto la transformada de Laplace de g (t) = 3 es
G (s) =
3
s
3. h (t) = sin(3t)
Solution 6 Utilizando ladefinición
H (s) = Z ∞
0
h (t) e−stdt
= Z ∞
0
sin (3t) e−stdt
= l´ım
n→∞μ−
3
s2 +9
e−st cos (3t) −
s
s2 +9
e−st sin (3t)¶n
0
= −
1
s2 +9
l´ım
n→∞ ¡3e−st cos (3t) − se−st sin (3t)¢n
0
= −
1
s2 +9
l´ım
n→∞ ¡3e−sn cos (3n) + se−sn sin (3n) − 3¢
2
Evaluando el límite de la última expresión nos damos cuenta que
l´ım
n→∞ ¡3e−sn cos (3n) + se−sn sin (3n) − 3¢ = l´ım
n→∞¡3e−sn cos (3n)¢ + l´ım
n→∞ ¡se−sn sin (3n)¢ − l´ım
n→∞
(3)
de donde
l´ım
n→∞
(3) = 3
l´ım
n→∞ ¡3e−sn cos (3n)¢= 3 l´ım
n→∞ ¡e−sn cos (3n)¢= 0
ya que cos (3n) es una función acotada y l´ımn→∞ (e−sn) = 0 siempre y cuando s ≥ 0. Finalmente
l´ım
n→∞ ¡se−sn sin (3n)¢= s l´ım
n→∞ ¡e−sn sin (3n)¢= 0
siempre y cuando s ≥ 0 ya que sucede algo similar que en la función anterior.
Por lo tanto latransformada de Laplace de h (t) = sin(3t) es
H (s) =
3
s2 +9
1.2. Condiciones de Existencia de la Transformada de Laplace
Antes de enunciar el teorema de existencia de la transformada de Laplace de una función es preciso definir un
concepto para el teorema de existencia de la TL (Transformada de Laplace) de una función.
Definition 7 (Orden Exponencial) Se dice que una función f (t) es...