Transformada De Laplace

La transformada de Laplace

 
La transformada de Laplace se define como:
[pic][pic]
Siendo f(t) una función continua para [pic]; s>0; s>so ; siendo "s" un parámetro real; y so un valor fijo de "s".
La integral impropia [pic]se define como:
[pic]
y se dice que si el límite existe también existe la transformada de Laplace; y decimos que la integral converge.
Se puede representar laactividad de la transformada de Laplace mediante el siguiente esquema:
 [pic]
Ejemplo 1: Obtener la transformada de Laplace de [pic]
[pic]
[pic];para s>a. Resultado.
Ejemplo 2: Obtener la transformada de Laplace de f (t)= t.
[pic]aplicando la integración por partes:
[pic]
L{t} = [pic]
[pic]Resultado.
Y en general : L{ [pic]} = [pic]
Ejemplo 3: Obtener la transformada de Laplace de Sen at.Paso 1.- [pic]; resolviendo la integral por partes:
Paso 2.- [pic]
Paso 3.- [pic]
Paso 4.- [pic]; Integrando por partes:
Paso 5.- u= Cos at ; du= -a Sen at dt ; [pic]
Paso 6.- [pic]
Paso 7.- [pic]
Paso 8.- [pic]
Paso 9.- [pic]    Resultado.
Ejemplo 4: Método alternativo para obtener la transformada de Sen at ;y simultáneamente la transformada de Cos at :
Paso 1.- [pic]
Paso 2.- SustituirSen at  por [pic]:
Paso 3.- [pic]L{[pic]}
Paso 4.- Como en el ejemplo 1,se obtuvo [pic]; entonces en este
caso: [pic][pic]
Paso 5.- Utilizando la identidad de Euler:
[pic]y aplicándola a éste caso:
Paso 6.- [pic]
Paso 7.- Aplicando la propiedad de las igualdades en:
[pic]; se obtiene que
[pic]y que [pic]  Resultados.
Propiedades de la transformada de Laplace.
I) Si f(t), f1 (t) y f2(t);poseen transformadas de Laplace y,C es una constante entonces:
Paso 1.- L { f(t)+ L f1(t)+ L f2(t) } = L {f(t)} + L { f1(t)} + L { f2(t) }
Paso 2.- L { C f(t) } = C L { f(t) }
II ) Si F(s) = L { f(t) } , entonces:
L { [pic]} =[pic]
Ejemplo: Obtener [pic]
Paso 1.- L {[pic]} = (-1) [pic]{ [pic]}= [pic]
[pic]
Paso 2.- [pic]
Paso 3.- [pic][pic]
Paso 4.- { [pic][pic][pic][pic]   Resultado.Para s >a , n=0, 1, 2, 3...
Transformada de Laplace de derivadas.
Obtener la transformada de Laplace de f ' (t).
[pic]resolviendo la integral por partes:
[pic]
[pic]
L {f ' ( t ) } = L { f(t) } - f(0)    Resultado.
Obtener la transformada de Laplace de f '' (t) .
Haciendo f ' (t) = g(t) ; f '' (t) = g ' (t) ;y g(0)= f ' (0) ; y aplicando el resultado
anteriormente
obtenido de latransformada, para la primera derivada tenemos:
L { f ' ' (t) } = L { f ' (g) } = s L {g (t)} - g(0) ;
s L { g( t ) } = s L { f ' ( t ) } = s ( - f (0) + s L { f (t) } )
L { f ' ' (t) } = s2 L { f (t) } - s f (0) - f ' (0) Resultado.
Generalizando tenemos:
L { [pic]} = sn L { f (t) } - sn-1 f (0) - sn-2 f ' (0) - .... - f n-1 (0)
Función Gamma [pic][pic]
Obtener la función gamma de 1: sustituir x=1[pic]    Resultado.
Obtener la función gamma de ( x+1) : [pic]
Integrando por partes: [pic]
= [pic]
Resultado.
Generalizando tenemos que: [pic]
[pic] Esta es la propiedad más importante de la función
gamma.
Aplicando la función gamma obtener la transformada de Laplace de f(t) =[pic];siendo n
un entero no negativo y, t [pic];
L { [pic]} = [pic]
si sustituimos [pic]
tenemos queL{[pic]}= [pic]    Resultado.
Teorema de Traslación del eje s :
Si F(s) = L{f(t)} existe para s>c , entonces L { [pic]} existe para s>a+c :
[pic]La traslación de S[pic] de la transformada corresponde a la multiplicaciónde la función original de t por [pic]
En forma semejante: L [pic]{ F(s-a) }=[pic]  haciendo S[pic]
Aplicando éste teorema en las transformadas obtenidas anteriormente:
Como[pic][pic]entonces [pic][pic]
[pic][pic]
 
Como [pic]entonces [pic][pic]
[pic][pic]
Como[pic] ; entonces [pic][pic]
Así como hay tablas de integrales para facilitar la solución de problemas de integración, utilizaremos las tablas de transformadas.
de Laplace para agilizar la solución de problemas de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas, que en el tema anterior resolvimos por el método de...