transformada de laplace

TRANSFORMADA DE LAPLACE
EDUARDO MARTÍNEZ

Estudiamos en este capítulo la transformación de Laplace, que es un método para
asociar a una functión f otra función F distinta, llamada transformada de Laplace
de f . Una de sus principales virtudes es que transforma ecuaciones diferenciales
lineales en ecuaciones algebraicas, por tanto fáciles de resolver. Una vez resuelta
dicha ecuaciónalgebraica se hallará la antitransformada obteniendose la solución
de la ecuación diferencial.
La transformada de Laplace de una función f viene dada por medio de una
integral impropia dependiente de un parámetro (la variable de la cual depende la
función F ), por lo cual la teoría está llena de complicaciones técnicas. Por esta
razón, y teniendo en cuenta las aplicaciones de la teoría quenecesitamos, podemos
restringirnos a una clase de funciones sencillas, las funciones de orden exponencial.
En principio, y dado que las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales con
coeficientes constantes son funciones continuas, podríamos restringirnos a funciones
continuas. Sin embargo, nos interesa estudiar ecuaciones con impulsos, que como
vimos, hacen que la solución cambie bruscamente ysea discontinua. Es por esto
por lo que trataremos funciones continuas a trozos.
1. Transformada de Laplace
Consideremos el conjunto Ω formado por las funciones de una variable real t
con valores en C cuyo dominio contiene los reales positivos y un entorno del cero
y son continuas a trozos (es decir, las discontinuidades de la función son de salto
finito y el conjunto de puntos dediscontinuidad no tiene puntos de acumulación
finitos, o lo que es lo mismo, en cada intervalo compacto hay un número finito de
discontinuidades de salto finito).
A todos los efectos se considerarán como iguales dos funciones continuas a trozos que coincidan en [0, ∞) salvo en sus puntos de discontinuidad. Si se prefiere,
podemos trabajar con clases de equivalencia de funciones que coinciden salvo en
unconjunto sin puntos de acumulación finito. En consecuencia, en un punto de
discontinuidad, no tiene sentido hablar de f (a) sino de f (a+ ) y f (a−).
Definición 1.1: Dada una función f ∈ Ω llamamos transformada de Laplace
de f a la función F definida por
∞

F (s) =

f (t) e−st dt.

0

Se utiliza frecuentemente la notación F = L(f ) o también L(f (t)) = F (s).
Evidentemente, el dominio de lafunción F es el campo de convergencia de la
integral anterior. Nótese que F es una función compleja de variable real.
Ejemplo 1.2: Consideremos la función f (t) = 1, es decir f (t) = 1 · H(t) = H(t).
Su transformada de Laplace es
∞

F (s) =

1 e−st dt

0

Para hallar la integral anterior debemos distinguir varios casos según el valor de s.
1

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EDUARDO MARTÍNEZ

• Si s = 0,∞

F (0) =

∞

1 e0 dt =

0

• Si s > 0,

∞

F (s) =
0

0

1
1 e−st dt = − e−st
s

• Si s < 0,

∞

F (s) =

1 e−st dt =

0

t=∞
t=0

=

1 dt = ∞.
1
1
1 − lim e−st = .
t→∞
s
s

1
1 − lim e−st = ∞.
t→∞
s

Por tanto, la transformada de Laplace de f (t) es F (s) = 1/s, definida en (0, ∞).
Ejercicio 1.3: Comprobar que, para a ∈ R, la transformada deLaplace de f (t) =
eat es F (s) = 1/(s − a), definida en el intervalo (a, ∞). ¿Qué ocurre si a es un
número complejo?
Los dos ejemplos anteriores muestran una característica común; a saber, el dominio de la transformada es un intervalo semiinfinito. Esto es una propiedad que
se satisface en muchas ocasiones.
Proposición 1.4: Si la integral que define la transformada de Laplace de una
función esabsolutamente convergente para un cierto valor s = γ entonces también
es convergente para todo s en el intervalo (γ, ∞).
Dem. Si s > γ, entonces e−st ≤ e−γt , para todo t ≥ 0, de donde
∞

0

|f (t) e−st | dt ≤

∞

0

|f (t) e−γt | dt.

Como la integral de la derecha converge, la integral de la izquierda también.
Nótese que hay funciones para las que el campo de convergencia de la...