Transformada de Laplace

TRANSFORMADA DE LAPLACE


*Saberes previos
Pierre Simón Marquéz de Laplace (1749-1827) matemático y astrónomo francés tan famoso en su tiempo que se le conocía como el Newton de Francia. Sus principales campos de interés fueron la Mecánica Celeste, o movimiento planetario, la teoría de probabilidades, y el progreso personal. Prueba de sus talentos son
1. Mécanique Celeste monumental tratadoen sobre cuestiones de gravitación publicado en cinco volúmenes entre los anos de 1799 y 1825. El principal legado de esta publicación reside en el desarrollo de la teoría de potencial, con implicaciones de largo alcance en ramas de la Física que van desde la gravitación, la mecánica de fluidos, el magnetismo y la física atómica.
2. Théorie Analytique des Probabilités que se considera la másgrande contribución a esa parte de las matemáticas. Como anécdota, el libro inicia con palabras que más o menos dicen "En el fondo, la teoría de probabilidades no es sino el sentido común reducido a cálculos", puede ser que si, pero las 700 páginas que le siguen a esas palabras son un análisis intrincado, en el cual usa a discreción la transformada de Laplace, las funciones generatrices, y muchasotras técnicas no triviales.
3. Tras la Revolución Francesa, el talento político y la ambición de Laplace alcanzaron su cenit; Laplace se adaptaba demasiado fácilmente cambiando sus principios; yendo y viniendo entre lo republicano y monárquico emergiendo siempre con una mejor posición y un nuevo título.
4. Uno de los defectos principales que se le han atribuido en detrimento de su reputación es laomisión de toda referencia a los descubrimientos de sus predecesores y contemporáneos, dejando entrever que las ideas eran suyas del todo.
5. La ayuda prestada a los jóvenes talentos científicos fue un gran acierto; entre esos jóvenes se encuentran : el químico Gay-Lussac, el naturalista Humboldt, el físico Poisson, y al joven Cauchy, que estaría destinado a convertirse en uno de los artíficesprincipales de las matemáticas del siglo XIX

DEFINICION DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

*Contexto
La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian unafunción en una variable de entrada en otra función en otra variable. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales. Aunque se pueden resolver algún tipo de ED con coeficientes variables, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes. Un requisito adicional es el conocimiento de las condiciones iniciales a la misma ED. Sumayor ventaja sale a relucir cuando la función en la variable independiente que aparece en la ED es una función seccionada. 
Cuando se resuelven ED usando la técnica de la transformada, se cambia una ecuación diferencial en un problema algebraico. La metodología consiste en aplicar la transformada a la ED y posteriormente usar las propiedades de la transformada. El problema de ahora consiste enencontrar una función en la variable independiente tenga una cierta expresión como transformada.

1. Concepto Matemático.

Primero se presenta una definición de la Transformada de Laplace; y un breve análisis de las condiciones de existencia de la transformada de Laplace.

Definimos:

Una función de tiempo tal que para

Una variable compleja

Transformada de Laplace deUn símbolo operacional que indica que la cantidad a la que precede debe transformarse por la integral de Laplace.


Entonces la transformada de Laplace de está dada por



El proceso inverso de hallar en tiempo , a partir de la transformada de Laplace , se denomina transformada inversa de Laplace. La notación de la transformada inversa de Laplace es

Así...