transformada de laplace


Transformada de Laplace - Conceptos Básicos

Definición:
Sea f (t) una función de t definida para t > 0. La Transformada de Laplace de f(t) se define como:
L { f (t) } = F(s) = ∫ e-stf(t)dt

Algunas Propiedades de la Transformada de Laplace:

1. Suma y Resta
Sean F1(s) y F2(s) las transformadas de Laplace de f1(t) y f2(t) respectivamente. Entonces:
L { f1(t)  f2(t) } =F1(s)  F2(s)

2. Multiplicación por una constante
Sea k una constante y F(s) la transformada de Laplace de f(t). Entonces:
L { kf(t)} = kF(s)

3. Diferenciación
Sea F(s) la transformada deLaplace de f(t), y f(0) es el límite de f(t) cuando t tiende a cero. La Transformada de Laplace de la derivada con respecto al tiempo de f(t) es:
L { df(t)/dt} = sF(s) - lím f(t) = sF(s) - f(0)


Engeneral, para las derivadas de orden superior de f(t):
L { dnf(t)/dtn} = sn F(s) - sn-1 f(0) - sn-2 f(1)(0) - ..... - f (n-1)(0).

4. Teorema del Valor Inicial
Si la Transformada de Laplace de f(t)es F(s), entonces:
Lím f(t) = Lím s F(s)


si el límite existe.





Transformadas de Laplace de algunas Funciones Elementales:


f(t)
L {f(t)} = F(s)
1
K
k/s
2
t
1/s2
3tn
n!/sn+1
4
eat
1/ s-a
5
sen at
a/ s2 + a2
6
cos at
s/ s2 + a2
7
senh at
a/ s2 - a2
8
cosh at
s/ s2 - a2

Ejercicio Resuelto:
Hallar la Transformada de Laplace de la siguientef(t) por medio del uso de tabla:
f(t) = 3 e -4t + 1/2 cos 5t + 3/4 t3 + 8

Aplico Transformada de Laplace:
L {f(t)} = L { 3 e -4t + 1/2 cos 5t + 3/4 t3 + 8 } (1)

Ya que la Transformadade Laplace de una suma es igual a la suma de las Transformadas de Laplace de cada término, (1) se puede expresar como:

L {f(t)} = L { 3 e - 4t } + L { 1/2 cos 5t } + L { 3/4 t3 } + L { 8 } (2)Ahora sólo queda reemplazar cada término de (2) por su correspondiente Transformada expresada en la tabla, y aplicar las propiedades:

L {f(t)} = F(s) = 3*( 1/s+4 ) + 1/2*( s/s2 + 25 ) + 3/4*(...