Transformada De Laplace

CAPITULO II
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE REPASO DEFINICIÓN

 f (t )  F (s)   f (t )e st dt
0



LIMITACIONES: La integral de Laplace debe ser convergente, es decir, que esta integral tenga un valor funcional definido. Para lo cual f(t) debe ser: 1. Continua en tramos en intervalos de tiempo finito 0  t1  t  t2 2. De orden exponencial. EJEMPLO 1: Obtener la transformada de Laplacede la función escalón unitario utilizando la definición de la transformada de Laplace y posteriormente obtener la transformada de Laplace utilizando tablas y comparar ambos resultados. Solución: La función escalón unitario esta definida por: f(t) = 0 , para t < 0 1, para t ≥ 0

1 f(t)

t

EJEMPLO 2: Obtener la transformada de Laplace de la función rampa unitaria utilizando la definición dela transformada de Laplace y posteriormente obtener la transformada de Laplace utilizando tablas y comparar ambos resultados. La función rampa unitaria esta definida por: f(t) = 0 , para t < 0 t , para t ≥ 0 f(t)

4 3 2 1 1 2 3 4 t

Autor: Rocío Rodríguez Hernández

1

Tablas de Transformada de Laplace f(t) F(s)
d   t    dt   t 

s 1
1 s 1 s2 n! s n 1 1 sa 1

1 t
tn eat
te at

s  a

s  2 s 2 s  2
2

2

sen t 
cos(t )

e at sen(t )
e at cos(t )



s  a s  a

2

 2  2

sa
2

Autor: Rocío Rodríguez Hernández

2

TEOREMAS DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

TEOREMA 1: LINEALIDAD Si a es una constante o si es independiente de s y de t, y si f(t) es transformable, entonces af (t )  a  f (t )  aF (s)TEOREMA 2: SUPERPOSICIÓN Si f1(t) y f2(t) son transformables por Laplace, el principio de superposición establece:  f1 (t )  f 2  t    f1 (t )   f 2 (t )  F1 (s)  F2 (s)  

TEOREMA 3: TRASLACIÓN EN EL TIEMPO

f(t)

f(t-a)

t

a

t

Si la transformada de Laplace de f(t) es F(s), y si a es un número real positivo y f(ta) =0 para 0 < t < a, entonces:  f (t  a)  eas F(s) La traslación en el sentido positivo de t en el dominio real se da multiplicando por el exponente e-as en el dominio de s.

TEOREMA 4: DIFERENCIACION COMPLEJA Si la transformada de Laplace de f(t) es F(s), entonces

tf (t )     f (t )    F (s) ds ds
d d

Autor: Rocío Rodríguez Hernández

3

La multiplicación por el tiempo en el dominio real resulta en la diferenciacióncon respecto a s en el dominio de s. En general:
n n d t n f (t )         ds n

 f (t )    n

dn  F (s) ds n

TEOREMA 5: TRASLACIÓN EN EL DOMINIO DE S Si la transformada de Laplace de f(t) es F(s) y a es un número real, entonces

e at f (t )   F (s  a)  
La multiplicación por eat en el dominio real es equivalente a la traslación en el dominio de s.

TEOREMA 6:DIFERENCIACION REAL Si la transformada de Laplace de f(t) es F(s) y si la primera derivada de f(t) con respecto al tiempo d[f(t)]/dt es transformable, entonces:
d    dt  f (t )  sF ( s)  f (0 )  

El término f(0+) es el valor limite de la función f(t) en el origen, t= 0 En forma similar para la segunda derivada se tiene:

 d2  2    2  f (t )  s F ( s)  sf (0 )  f ´(0 ) dt 
El término f´(0+) es el valor limite de la primera derivada de la función f(t) en el origen, t= 0 En general para una n-ésima derivada:

 dn   n  2 n n 1  n2   0   f n1 (0 )  n  f (t )  s F ( s)  s f (0 )  s f ´(0 )  ...  sf  dt 
El término f(n-1)(0+) es el valor limite de la derivada n-1 de la función f(t) en el origen, t= 0 Autor: Rocío Rodríguez Hernández 4TEOREMA 7: INTEGRACION REAL Si la transformada de Laplace de f(t) es F(s), su integral es:

t  F ( s) f  1 (0 ) f (t )dt     s s 0 
En donde f(-1)(0+) es la primera integral de la función f(t) en el origen, t=0. En general:

  t t    ...... f (t )dt   0 0    n veces  

 1   2    n  (0 (0  f   n  (t )   F (ns)  f n )  f n 1 ) ...