Transformada z

La transformada z directa.
La transformada z juega el mismo papel en el análisis de señales de tiempo discreto sistemas LTI que la transformada de Laplace en el análisis de tiempo continuo ysistemas LTI.
Definición.
La transformada z de una señal de tiempo discreto x[n] se define como:

n z n x z X
donde z es una variable compleja.
La transformada z de una señal x[n] se denota porMientras que la relación entre x[n] y X (z) se indica mediante

Desde un punto de vista matemático, la transformada z es simplemente una representación alternativa de la señal. De este modo elcoeficiente de z-n, para una transformada determinada, es el valor de la señal en el instante n. Y por tanto, el exponente de z contiene la información necesaria para identificar las muestras de la señal.Ejemplo 1.
Determina la transformada z de la secuencia mostrada en la figura 1.

Secuencia x[n].

Región de convergencia de la transformada z.
Como se puede observar, la transformada z se puedeexpresar como una serie de
potencias infinita y existe sólo para aquellos valores de z para los cuales converge la serie. De esta forma, se define la región de convergencia (ROC) de X (z) como elconjunto de todos los valores de z para los cuales X (z) adquiere valores finitos.
Siempre que se calcule la transformada z de una secuencia, se debe también indicar su correspondiente ROC. En el ejemplo1, X (z) toma valores finitos para todo z excepto para el punto z=0, y por tanto la ROC se define como C-{0}

 Región de convergencia de la secuencia x[n], del ejemplo 1.

Si se expresa ahora lavariable compleja z en su forma polar lo que se tiene es:

donde r =| z | y  ð ð q. De este modo X (z) se puede expresar ahora como:

·
En la ROC de X (z) se debe cumplir que |X (z)| ð , peroPor tanto |X(z)| es finito sólo si la secuencia x[n]· r -n es absolutamente sumable. De esta forma, el problema de encontrar la ROC de X(z) es equivalente a determinar el rango de valores de r para...