Transformadas de laplace

Transformadas de Laplace
La transformada de Laplace de una función f(t) definida (en ecuaciones diferenciales, o en análisis matemático o en análisis funcional) para todos los númerospositivos t ≥ 0, es la función F(s), definida por:

siempre y cuando la integral esté definida. Cuando f(t) no es una función, sino una distribución con una singularidad en 0, la definición es

Cuando se habla dela transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:

La transformada de Laplace F(s)típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).
 es llamado el operador de la transformada de Laplace.

Propiedades deLaplace

Linealidad

Derivación


 
Integración

Dualidad

Desplazamiento de la frecuencia


Desplazamiento temporal


Nota:  es la función escalón unitario.
Desplazamientopotencia n-ésima

Convolución

Transformada de Laplace de una función con periodo p


Condiciones de convergencia
 (que crece más rápido que ) no pueden ser obtenidas por Laplace, ya que , es unafunción de orden exponencial de ángulos.

Teorema del valor inicial
Sea una función  derivable a trozos y que  Entonces :
 es el conjunto de funciones continuas a trozos con orden exponencial.Teorema del valor final
Sea una función derivable a trozos tal que .Entonces :
 es el conjunto de funciones continuas a trozos con orden exponencial.
 representa la función escalón unitario. representa la Delta de Dirac.
 representa la función gamma.
 es la constante de Euler-Mascheroni.
, un número real, típicamente representa tiempo, aunque puede representar cualquier variableindependiente.
 es la frecuencia angular compleja.
, , , y  son números reales.
es un número entero.


Tablas de las Transformadas de Laplace mas comunes.
La siguiente tabla provee la mayoría de las...