Transformador monofásico con tres devanados

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  • Publicado : 7 de diciembre de 2011
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Se tiene un transformador monofásico con tres devanados de diferentes número de vueltas el primario tiene 1000 vueltas, el secundario 2000 y el terciario 100. Los enlaces del flujo de dispersión son proporcionales al número de vueltas de cada devanado y el coeficiente de acoplamiento entre el primario y el secunadrio es de 90%. Cada bobina tiene una resistencia proporcional a su número de vueltasy la del terciario es de 1.0 ohm. El núcleo es de hierro con grado orientado y tiene una permeabilidad relativa de 3000 y se satura cuando la densidad de campo alcanza 1.6T, donde la permeabilidad relativa incremental es la del vacío. El área de la sección transversal es de 25 cm2 y la longitud media del hierro es de 60 cm. El devanado terciario está en cortocircuito y el secundario alimenta a uncondensador de 10 mF. El transformador se alimenta por el primario con una fuente de tensión que tienen un 100% de primera armónica, un 30% de tercera y un 20% de primera armónica. Las tensiones aplicadas al transformador hacen que este alcance el codo de saturación pero no lo excede. Determine:
1. Las corrientes instantáneas en cada bobina y la tensión en el condensador conectado en elsecundario cuando la tensión del primerio se conecta en el paso por cero de la tensión, a 90º en adelanto y a 90º en atraso (Realice todos los gráficos necesarios y compare los resultados)
2. Tensiones y corrientes en las bobinas, así como la tensión en el condensador secundario si la bobina terciaria está en circuito abierto para las mismas tres condiciones de la pregunta anterior (Realice todoslos gráficos necesarios y compare los resultados)
Solución pregunta 1:
N1=1000
N2=2000
N3=100
Las resistencias son proporcionales al número de vueltas:
R1R2=N1N2
R2R3=N2N3
R1R3=N1N3
R1=10ΩR2=20ΩR3=1Ω
Debemos encontrar las inductancias por lo tanto:
Lk=(plk+pmk)Nk*Nk
La permeanza de magnetización la calculamos con los datos del circuito magnético:
Pm1=Pm2=Pm3=1R=μAL=3000μo25cm260cm=15.708*10-6
Ahora para calcular la permeanza de dispersión seguimos el siguiente procedimiento:
λl1λl2=N1N2 λl2λl3=N2N3 λl1λl3=N1N3

Фl1ФL2=PL1PL2 Фl2ФL3=PL2PL3
Sabemos que: Фl1=Фl2=Фl3
De aquí podemos encontrar que: Pl1=Pl2=Pl3
Sabemos que:
K122=1σ1+1(σ2+1)
De aquí encontramos que: σ1σ2+σ1+σ2=0.2346 (1)
Tenemos que: σ1=Pl1Pm1σ2=Pl2Pm2 σ3=Pl3Pm3
De donde obtenemos que: σ1=σ2=σ3
Sustituyendo esto en la ecuación (1):
σ1=0.111=σ2=σ3
Ahora =Pl=σPm=1.7452μ1H
Podemos encontrar los valores de las inductancias:
Lk=(Plk+Pmk)NK*NK
L1=17.4532 HL2=69.8128 HL3=174.532m
Mjk=Nk*Nj*Pjk
Por la geometría: P12=P13=P23=Pm
M12=31.416HM13=1.5708 HM23=3.1416H
Ya que tenemos los datos importantes, podemos plantearlas ecuaciones:
e1=dλ1dt=L1di1dx+M12di2dx+M13di3dxe2=dλ2dt=M12di1dx+L2di2dx+M23di3dxe3=dλ3dt=M13di1dx+M23di2dx+L3di3dx

V1=e1+R1i1=L1di1dx +M12di2dx +M13di3dx+R1i1V2=e2+R2i2= M12di1dx+L2di2dx+M23di3dx+R2i2V3=e3+R3i3= M13di1dx+M23di2dxL3di3dx+R3i3-i2=Cdv2dt
Mi problema tendría la forma:
pi1pi2pi3pv2 = Ai1i2i3v2+ Bv1

En nuestro caso en forma matricial queda:
L1 M12 M130 M12 L2 M23 0M13 M23 L3 00 0 0 1 p i1i2i3v2=-R1 0 0 0 0 -R2 0 1 0 0 -R3 0 0 -1C 0 0 i1i2i3v2+ 1000V1

pi1i2i3v2=3.8882 1.84 1.8418 -0.092210.9204 - 1.94410.9209 0.097218.4179 18.4179 -38.8821 -0.92090 -100 0 0 i1i2i3v2+0.3888-0.0921 -1.84180V1
Solución Homogénea:
i1i2i3v2=A1[T1]ejγ1 + A2[T2] ejγ2+ A3[T3] ejγ3+ A4[T4] ejγ4

Utilizando el programa matemático matlab , con el siguiente comando podemos encontrar los autovalores y autovectores:
A =3.8882 1.84...
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