Transposición de una matriz

Transposición
La transposición es una operación que transforma una matriz en otra, llamada su transpuesta, cuyos renglones son las columnas de la matriz original y cuyascolumnas son los renglones de la matriz original. Al respecto se tiene la siguiente definición:
Sea A =a_ij una matriz de m x n con elementos en C.
Se llama matriztranspuesta de A a la matriz de n x m
A^T= c_ij tal que
c_(ij=a_ji )

De acuerdo con esta definición, el elemento correspondiente al renglón i y la columna j de A^Tes el que se encuentra en el renglón j y la columna i de la matriz A. Así, los renglones de A^T son las columnas de A y las columnas de A^T son los renglones de A.
Porejemplo, para la matriz
A = ■(2i&0&-i@5&1&1-3i)
Se tiene que
A^T= ■(c_11&c_12@c_21&c_22@c_31&c_32 ) = ■(a_11&a_12@a_21&a_22@a_31&a_32 ) = ■(2i&5@0&1@-i&1-3i)
Lasprincipales propiedades de la transposición se presentan en el siguiente teorema
*Si A y B son dos matrices con elementos en C y a C.
Entonces:
〖(A^T) 〗^T=A
〖(α A) 〗^T=α A^T
〖(A +B) 〗^T=A^T + B^T , Si A +B puede obtenerse
〖(A +B) 〗^T= B^T A^T, Si AB puede obtenerse

Demostración
Las propiedades de i) ii) iii) son evidentes,por lo que sugerimos al lector como ejercicio.
Sean A = a_(ij )y B = b_ij dos matrices con elementos en C , de m x n y n x q respectivamente; y sean A^T = c_ij y B^T=d_ij sus respectivas transpuestas. Entonces
AB = P_(ij ), donde P_ij = ∑_(k=1)^n a_ik b_kj
Y en consecuencia
〖(AB)〗^T =P_ij = ∑_(k=1)^n a_jk b_ki por VI. 7.I
= ∑_(k=1)^n b_ki a_jk por iii) de II. 1.4
= = ∑_(k=1)^n d_ik c_kj por VI. 7. 1
(AB)^T= B^T A^T