Trasnformacio lineales

Definición
Se denomina aplicación lineal, función lineal o transformación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales que cumpla la siguiente definición:
Sean V y Wespacios vectoriales sobre el mismo espacio o campo K, y T una función de V en W. T es una transformación lineal si para todo par de vectores u y v pertenecientes a V y para todo escalar kperteneciente a K, se satisface que:

donde k es un escalar.

Ejemplos
Transformación lineal identidad

Homotecias
con
Si k > 1 se denominan dilataciones
Si k < 1 se denominancontracciones

Propiedades de las transformaciones lineales

Sean y espacios vectoriales sobre (donde representa el cuerpo) se satisface que:
Si es lineal, se define el núcleo y la imagen de T dela siguiente manera:


Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.
Elnúcleo de toda transformación lineal es un subespacio del dominio:
dado que
Dados
Dados
Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo.
O sea que la imagen de una transformación lineal estáformada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.
La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.
El rango deuna transformación lineal es la dimensión de la imagen.

una función lineal es la correspondencia

Teorema fundamental de las transformaciones lineales

Sea B = {v1,v2,v3,...vn} base de V y C= {w1, w2, w3,...wn} un conjunto de n vectores de W no necesariamente distintos, entonces existe una única transformación lineal.

Clasificación de las transformaciones lineales

Monomorfismo:Si es inyectiva, o sea si el único elemento del núcleo es el vector nulo.

Epimorfismo: Si es sobreyectiva (suryectiva).

Isomorfismo: Si es biyectiva (inyectiva y suryectiva)

Matriz...