Trataremos lo concerniente a los criterios de la primera y segunda derivada para determinar los puntos importantes para graficar una función f

Trataremos lo concerniente a los criterios de la primera y segunda derivada para determinar los puntos importantes para graficar una función f(x).
Los pasos que recomiendo par este fin son los siguientes:
1. hallar los puntos de corte con los ejes:
    a. con el eje X. debemos solucionar la ecuación F(x)=0
    b. con el eje Y. ebemos hallar F(0)
2. hallar las las asintotas de la función si lastiene:
    a. Verticales. determinar los puntos de discontinuidad de la función y hallar el limite cuando la función titnde a esos funtos. si el limite existe la función no tiene asintotas verticales, pero si el limite tiende a infinito, la función tiene asintota vertical en ese punto.
    b. Horizontales. Evaluar el limite cuando la función tiende a infinito, si el limite existe entonces lafunción tiene asintota horizontal en y= al valor del limite que se encontro
3. Crterio de la primera derivada: hallamos la derivada de la función
     a. Puntos críticos: resolvemos la ecuación resultante al hallar la primera derivada, cada una de las soluciones de esa ecuación representa un punto critico (un posible máximo o mínimo).
     b. Regiones de monotonia: determinamos el signo de la derivada:          Si la derivada de la función es positiva la función es creciente en ese intervalo
          Si la derivada de la función es negativa la función es decreciente.
4. Criterio de la segunda derivada: hallamos la segunda derivada.
     a. Puntos de inflexión: resolvemos la ecuación que resulta de la segunda derivada. Cada uno de esos puntos nos indica donde cambia de concavidad la función
    Sila segunda derivada es positiva, la función es concava hacia arriba en ese intervalo
    Si la segunda derivada es negativa, la función es concava hacia abajo en ese intervalo
5. Punto máximos y/o mínimos: evaluamos cada punto critico en la segunda derivada:
    Si el valor es positivo en ese punto critico hay un mínimo
    Si el valor es negativo en ese punto critico hay un máximo
6. Gráfica:con los puntos hallados y el analisis general en todo el proceso anterior dibujamos la gráfica de la función.


Los pasos necesarios en el bosquejo de la gráfica de una función polinominal puede resumirse en el procedimiento siguiente: 

Paso 1 Calcule f ’(x) 

Determine los intervalos en que la f ’(x) es positiva o negativa: estos dan los intervalos en que f(x) crece o decrece, respectivamente.Calcule las coordenadas de los puntos que dividen estos intervalos. 

Paso 2 Calcule f ’’(x) 

Determine los intervalos en que f ’’(x) es positiva o negativa: estos dan los intervalos en que f (x) es cóncava hacia arriba o hacia abajo, respectivamente. Calcule las coordenadas de los puntos que separan estos intervalos. 

Paso 3 

Combine la información de los pasos 1 y 2. 

Paso 4 Encuentre algunospuntos explícitos 

Por ejemplo, la intersección con el eje y se obtiene haciendo x = 0 de modo que y = f (0). La intersección con el eje x se obtiene haciendo y = 0. Esto da la ecuación f (x) = 0, que debe resolverse para los valores de x en los puntos de intersección. Algunas veces esta ecuación resulta ser demasiado complicada de resolver y debemos prescindir de la información que proporciona. Ejemplos. 



Bosqueje la gráfica de y = 3+5x-2x2. 



Solución. 

Paso 1 y’=5-4x 

Así que, y’ es mayor a 0 si x < 5/4 y y’ < 0 cuando x > 5/4. Si x es = 5/4, 

y = 3+5(5/4)-2(5/4)2 = 49/8 

en consecuencia la gráfica es creciente si x < 5/4 y decreciente para x > 5/4, y el punto divisorio de la gráfica es: (5/4, 49/8). 

Paso 2 

y’’ = -4. Así que la gráfica es cóncava hacia abajo para todax. 

Paso 3 

Combinando toda la información de los pasos 1 y 2 tenemos la siguiente figura. 

Paso 4 

Cuando x = 0, y = 3 lo que da el punto (0,3). Si y = 0 se obtiene la ecuación 2x2-5x-3 = 0. Esta función cuadrática puede factorizarse: (2x+1) (x-3) = 0, y las raíces son x = -1/2, y x = 3. En consecuencia la gráfica corta al eje x en (-1/2,0) y (3,0). 

Integrando toda esta información se...