Triangulos semejantes

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Tema 1 Triángulos semejantes |

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Ambrosio va a pintar un muro del que conoce la dimensión de su base pero le falta la altura porque no cuenta, por el momento, con una escalera para medirla. | ¿Cómo podría Ambrosio conocer la altura del muro y con ello poder calcular el área que va a pintar? |
Ambrosio puede más o menos calcular la altura del muro parándose junto a él y marcar su alturacon un gis, luego alejarse y calcular cuántas veces cabe su altura en el muro. Pero este procedimiento no es muy preciso, pues está suponiendo cuántas veces cabe su altura en el muro para luego multiplicarla.Una forma de calcular la altura del muro, con mucha mayor precisión, es utilizando la geometría, por medio de las razones semejantes. Observe usted lo que hace Ambrosio:La sombra que da el Solcuando pasa por el muro a las11 a.m. mide 16 m. | La sombra de Ambrosio, también a las 11 a.m., es de 3.0 m y él sabe que mide 1.75 m. Con esta información él podrá calcular la altura del muro, ya que si usted observa los dos dibujos, en cada uno de ellos hay un triángulo rectángulo semejante. |
Lo anterior se aprecia mejor si se dibuja de la siguiente manera:De la misma manera se puede analizara Ambrosio y su sombra.Observe que los triángulos ABC y DEF son semejantes porque sus tres lados son proporcionales. Esto quiere decir que la relación que existe entre el alto del muro y su sombra () es la misma que existe entre la altura de Ambrosio y la longitud de su sombra (). Esto es porque los dos triángulos (ABC y DEF) tienen el mismo ángulo(se lee alfa). | |
La sombra del muro | Lasombra de Ambrosio |
Utilizando el álgebra se puede decir que: |
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Por lo anterior se tiene que: |
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También se podría haber dicho que:La altura del muro AB es proporcional a la altura de Ambrosio DE. |
Y que la sombra del muro BC es proporcional a la sombra de Ambrosio EF, desde luego, ambas medidas a las 11 a.m. |
Ahora Ambrosio tiene una ecuación en la que conoce tresvariables y tiene una incógnita.Con lo anterior puede plantear una ecuación como la siguiente: | (x= altura desconocida del muro) |
Despeja la incógnita "x", por lo que multiplica a los dos miembros de la ecuación porBC: |
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Sustituyendo se tiene: |
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Con esto Ambrosio sabe que el muro tiene una altura de9.33 m, lo que multiplicado por los 25 m que tiene de base obtendrá su área. 9.33 m x25 m = 233.25 m2 |
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| Recuerde usted que cuando tiene figuras que son semejantes, conociendo la relación que existe en ellas, se puede estimar cualquier dimensión que falte. |
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En el caso del muro de Ambrosio, la semejanza se puede comprobar de la siguiente manera.Forma algebraica:Cuando se obtiene la misma cantidad en los dos triángulos al dividir a uno de los lados entre otro de suslados. |
Forma gráfica:1. Cuando un triángulo cabe exactamente en una parte del otro.2. Cuando, al continuar las líneas de un ángulo formado, se puede colocar el otro triángulo pero de manera simétrica:Observe que en ambos casos el ángulo es el mismo. |
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Ejemplo |
Martín necesita medir el ancho del río que pasa cerca de su propiedad, pero no puede llegar al otro lado. ¿Cómo podría medirel ancho del río?Para resolver su problema, Martín hace lo siguiente:1. Identifica un punto determinado al otro lado del río, en donde quiere medir el ancho del río, por ejemplo el árbol (Punto A).2. Del punto identificado (el árbol), traza una línea imaginaria sobre la longitud que quiere medir. Ésta debe ser perpendicular al cauce del río para que la medida que obtenga sea la adecuada(Punto B).3. Se desplaza a uno de los lados del punto de observación, también de manera perpendicular, a una distancia considerable (Punto C).4. De ahí camina de manera perpendicular al cauce, alejándose del río para establecer un segundo punto de observación (Punto D), a una distancia de 3 m.5. Martín, desde el punto de observación 2, ve hacia el punto de referencia al otro lado del río y pide ayuda...
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