trigonometria

TRIGONOMETRÍA

TRIGONOMETRÍA

MEDICIÓN DE ÁNGULOS
El ángulo plano XOP está formado por las dos semirectas secantes OX y
OP . El punto O es el vértice del ángulo y las semirectas son los lados del
ángulo .
Un ángulo plano se genera mediante un giro ( en un plano ) de una semirecta
desde una posición inicial OX hasta una posición terminal OP . Así el
punto O sigue siendo el vértice , OXes el lado inicial y OP el lado
terminal .
P
O
X
Un ángulo así generado es positivo si el sentido del giro es contrario al de las
agujas del reloj y negativo si el sentido del giro es el mismo de las agujas de
un reloj .
Un grado ( º ) es la medida del ángulo central subtendido por un arco igual a
1 / 360 partes de la circunferencia.

Un minuto ( ’ ) es 1 / 60 de un grado

⇒

Unsegundo ( ’’ ) es 1 / 60 de un minuto ⇒

ELIANA DEVIA S. Y JORGE GUERRA M.

1º

=

1’ =

60 ’
60 ’’

1

TRIGONOMETRÍA

Ejemplos :
1
1)
( 36 º 24’ ) = 9 º 6 ’
4
1
1
2)
( 127 º 24’ ) =
( 126 º 84’ ) = 63 º 42’
2
2
1
1
3)
( 81 º 15’ ) =
( 80 º 75’ ) = 40 º 37.5’ = 40 º 37’ 30’’
2
2
1
1
1
4)
( 74 º 29’ 20’’) =
( 72 º 149’ 20’’) =
( 72 º 148’ 80’’)
4
4
4
= 18º 37’20’’
Observación :
Como se vio en los ejemplos anteriores , se dividen por separado los grados
minutos y segundos . Se debe dejar como número entero los grados y los
minutos . En cambio los segundos pueden ir como decimales .
Un radián ( rad ) es la medida del ángulo central subtendido por un arco
cuya longitud es igual a la del radio de la circunferencia .
La longitud de lacircunferencia es igual a 2 π rad . y subtiende un ángulo
de 360 º . Entonces:

2 π rad = 360 º.
Por lo tanto :
1 rad =
1º =

180º
= 57. 296 º = 57 º 17’ 45’’
π

aprox.

π
rad . = 0.017453 rad . aprox. , donde π = 3.14159....
180

ELIANA DEVIA S. Y JORGE GUERRA M.

2

TRIGONOMETRÍA

El cálculo del número π sugiere que en general la información cuantitativa
que usamos entrigonometría son números irracionales, luego el uso de una
calculadora científica nos permitirá obtener solo un valor aproximado de los
valores reales.
¿ Es esto muy importante en términos prácticos ?
Depende. Si calculamos distancias a niveles galácticos, la precisión de dos o
tres decimales será insuficiente. Si calculamos el diámetro de un círculo del
tamaño del universo usando π con menos de ochentadecimales tendríamos
un error de sólo unos milímetros.

Ejemplos :

1)

7π
7 π 180
rad. =
·
= 105 º
12
12 π

2 ) 50 º = 50·

3)

4)

π
5π
rad . =
rad .
180
18

60 º = 60 ·

π
π
rad . = rad .
180
3

π
π 180
rad . =
·
= 90 º
2
2 π

ELIANA DEVIA S. Y JORGE GUERRA M.

3

TRIGONOMETRÍA

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO
RECTÁNGULO

Razón esla relación o cuociente de una cantidad con respecto a otra de la
misma naturaleza. Para poder estudiar la relación existente entre la medida de
los ángulos y la medida de los lados de un triángulo rectángulo es necesario
estudiar las razones trigonométricas.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Dado el triángulo rectángulo ABC y el ángulo α

C
a

b
α

B

A
c

Los lados del triángulo AB y BCse llaman catetos y el lado AC se
llama hipotenusa , definimos :

seno de α = sen α =

CB
AC

=

a
cateto opuesto
=
b
hipotenusa

ELIANA DEVIA S. Y JORGE GUERRA M.

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TRIGONOMETRÍA

BA
c
cateto adyacente
=
=
coseno de α = cos α =
AC
b
hipotenusa

tangente de α = tg α =

CB
a
cateto opuesto
=
=
BA
c
cateto adyacente

cotangente de α = ctg α =

secantede α = sec α =

BA
c
cateto adyacente
=
=
CB
a
cateto opuesto

AC
b
hipotenusa
=
=
BA
c
cateto adyacente

cosecante de α = csc α =

AC
b
hipotenusa
=
=
CB
a
cateto opuesto

Observación :
Las razones trigonométricas no tienen sentido si no van acompañadas de un
ángulo .

ELIANA DEVIA S. Y JORGE GUERRA M.

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TRIGONOMETRÍA

Ejemplo :
En el triángulo...