Trigonometria

INTRODUCCIu00d3N AL CÁLCULO

TÓPICOS DE TRIGONOMETRÍA
Medición de Ángulos:
Los sistemas más usados son:
• Sexagesimal
• Centesimal
• Circular o en radianes.

I. Sistema Sexagesimal
La unidad en este sistema es el grado sexagesimal.
Un grado sexagesimal: 1 º es la 360 ava parte de una vuelta completa de un “rayo móvil” sobre
un rayo fijo.
Una circunferencia tiene 360º
1º se divide en60 partes iguales llamados minutos
1º = 60’
1’ se divide en 60 partes iguales llamados segundos
1’ = 60’’
En la calculadora, los grados sexagesimales aparecen como DEG.

II. Sistema Centesimal
La unidad es el grado centesimal o gradián que corresponde a la 400ava parte de una
circunferencia.
1ºC = 100’C
1’C = 100’’C
En la calculadora los grados centesimales aparecen como GRA.

III.Sistema Circular
La unidad es el radián
Un radián es la medida del ángulo del centro de una circunferencia que subtiende un arco igual
a la medida del radio de la circunferencia.
Como el radio cabe en la circunferencia 2π veces, entonces un ángulo completo en el sistema
π
circular son 2π radianes.
π

A
r
α
Fig. 1

B

O

Razones Trigonométricas.
En un círculo cualquiera de radior, se tiene un triángulo rectángulo A0B, donde 0A= r,
0B= x, AB= y.

Y
Fig. 2

A(x,y)
r
y

α
O

Profesora Miriam Subiabre

x

B

X

1

INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO
Definimos las razones trigonométricas del ángulo α en el ∆ A0B de la siguiente manera:

cat.op. y
=
hipot. r
cat.ady. x
coseno α = cos α =
=
hipot.
r
cat.op. y
tangente α = tan α =
=
cat.ady x
cat.ady. xcotangente α = ctg α =
=
cat.op
y
hipot. r
cosecante α = csc α =
=
cat.op y
hipot.
r
secante α = sec α =
=
cat.ady x

seno α = sen α =

Las razones recíprocas son:
sen α =
cos α =
tan α =
ctg α =
sec α =
csc α =

1
cscα
1
sec α
1
ctgα
1
tgα
1
cos α
1
senα

Ejemplo:
Si sen α = 3/5, encuentre el valor de las otras razones trigonométricas.

Solución:

x 2 =52 − 32
x 2 = 25 − 9
x 2 = 16
x=4

Ejercicio: Si tan α =

∴ cos α = 4 , tan α = 3 , ctg α = 4 , sec α = 5 , csc α = 5
5
4
3
4
3
5
, encuentre el valor de las otras razones trigonométricas.
12

Identidades Trigonométricas.
1.-

tg α =

sen α
cos α

Dem.:

y
s e nα r y
= = = tan α
x x
cos α
r

Profesora Miriam Subiabre

2

INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO
cos α
sen α2
2
3.- sen α + cos α = 1
2
2
Obs : sen α = (sen α )

2.-

ctg α =

4.-

sen 2α = 1 − cos 2 α

sen α = ± 1 − cos 2 α
2
2
6.- cos α = 1 − sen α

5.-

cos α = ± 1 − sen 2α
2
2
8.- sec α = 1 + tan α
2
2
9.- tan α = sec α − 1
2
2
10.- csc α = 1 + ctg α
7.-

Signos de las razones Trigonométricas.
En un círculo de radio 1 con centro en el origen y que tiene porecuación

x 2 + y 2 = 1 las

razones trigonométricas quedan definidas como:

sen α = y
y
tan α =
x
1
sec α =
x

cos α = x
x
ctg α =
y
1
csc α =
y

Fig.3

Y
(x,y)
1
α

y

x

X

Signos según el cuadrante

Cuadrante
I
II
III
IV

sen α
+
+
-

Profesora Miriam Subiabre

cos α
+
+

tan α
+
+
-

ctg α
+
+
-

sec α
+
+

csc α
+
+
-

3INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO
II
SIN
grados
30º
45°
60º
90º
180º
270º
360º

I
TODOS

Radianes
π/6
π/4
π/3
π/2
π
3π/2
2π
TA
Fig. 4

COS
IV

III

VALORES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ALGUNOS ÁNGULOS

Razones

0º

30º

45º

60º

90º

180º

270º

360º

sen α

0

½

2

3

1

0

-1

0

cos α

1

3

2

2

0

-1

0

1tan α

0

3

∞

0

∞

0

ctg α

∞

0

∞

0

∞

sec α

1

∞

-1

∞

1

csc α

∞

1

∞

-1

∞

2
1
3

= 3

2

1
2

1

3

1

3

3

= 2 33

2

2

2

2

2

1
3

2
2
3

Para los valores: 0º, 90º, 180º, 270º y 360º observamos el círculo unitario hecho
anteriormente, con sus coordenadas respectivas, (1,0), (0,1),...