trigonometria

Trigonometría
Resolución de triángulos.
Razones trigonométricas de un ángulo agudo.
∆

Consideraremos el triángulo rectángulo ABC tal que A = 90 º

Recordemos que en triángulo rectángulo cualquiera
se cumplía el teorema de Pitágoras:
a2 = b2 + c 2

Definimos seno del ángulo α y lo representamos por sen α
AB cateto opuesto
senα =
=
hipotenusa
CB
Definimos coseno del ángulo α y lorepresentamos por cos α
CA cateto contiguo
cos α =
=
hipotenusa
CB
Definimos tangente del ángulo α y lo representamos por tg α
AB cateto opuesto
tgα =
=
CA cateto contiguo

Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera.
Sea el punto Q(x,y)
Consideramos la circunferencia de centro O que pasa por el
punto Q y tiene radio r.
Consideramos el ángulo α = ∠POQ
Definimos:
y
senα =
rx
cos α =
r
y
tgα =
x

Relaciones fundamentales entre las razones trigonométricas.
Dado un ángulo α se cumplen las siguientes relaciones:
sen 2 α + cos 2 α = 1
senα
cos α
Estas dos identidades se llaman relaciones fundamentales de la trigonometría.
tgα =

Uso de la calculadora:
Modos angulares de la calculadora:
MODE DEG medidas sexagesimales
MODE GRA medidas centesimales
MODERAD medidas en radianes
Conociendo el ángulo α se pueden calcular las razones trigonométricas con las teclas sin cos
tan
Ejemplo:
Calcula tg43º25'50" , sen50º30’,
Con calculadoras antiguas:
25
º’”
50
tan
=
0.9467
43
º’”
º’”
50

º’”

sin

=

0.7716

Con calculadoras nuevas
tan
43
25
º’”

º’”

50

º’”

sen

º’”

=

0.7716

50

30

º’”

º’”

30=

0.9467

Conociendo las razones trigonométricas del ángulo α podemos calcular el ángulo α con las teclas
sin −1 cos −1 tan −1
Ejemplo:
α = arcsin(0.34 )
Calcula el ángulo α tal que senα = 0.34 .
Con calculadoras antiguas:
0.34
19º52’37”
sin −1 SHIFT º ’ ”

Con calculadoras nuevas:
SHIFT º ’ ”
sin −1 0.34 =

19º52’37”

Resolución de triángulos rectángulos.
Resolver untriángulo es determinar los tres lados y los tres ángulos.
Con la ayuda del teorema de Pitágoras, de las razones trigonométricas, y de la calculadora se
puede resolver cualquier triángulo rectángulo. Veamos los siguientes ejercicios:
Problema 1:
∆

Del triángulo rectángulo ABC tal que A = 90º conocemos
a = 5cm, b = 4cm
Determina todos los lados, los ángulos y el área del triángulo.
Aplicando elteorema de Pitágoras:
a2 = b2 + c 2
5 2 = 4 2 + c 2 , 25 = 16 + c 2 , c 2 = 9
Entonces c = 3 .
Aplicando cualquier razón trigonométrica podemos calcular el ángulo C.
4
b
cos C = , cos C = = 0'8
5
a
Con la ayuda de la calculadora C = arccos 0.8 = 36 º52'12"
Sabiendo que los tres ángulos de un triángulo suman 180º ( A + B + C = 180 º )
Tenemos que B + C = 90 º , entonces B = 90 º −C =90 º −36º52'12" = 53 º7'48"
b⋅c 4⋅3
=
= 6cm 2
Por ser el triángulo rectángulo, el área es S =
2
2
Problema 2:
Para subir al Miquelet de Valencia utilizamos una escalera exterior de
55m, que forma con la horizontal un ángulo de 67º36’.
Con estos datos calcula la altura del Miquelet.
Notemos que la horizontal, y el Miquelet forman un ángulo recto.
Sea x la altura del Miquelet,
Utilizandola razón trigonométrica seno,
x
sen67º36' =
55
Entonces, x = 55 ⋅ sen67 º36' = 50'85m
Problema 3:
El ángulo de elevación de la cima de una torre medido desde un punto C de
La horizontal es de 22º. Avanzando 12 metros hacia a la torre, volvemos a medir
El ángulo de elevación que es de 45º. Calcula la altura de la torre.
Solución:
Dibujamos el gráfico siguiente:

Sea x = AD , sea h = AB∆

h
12 + x
∆
h
Sea el triángulo rectángulo ABD tg45 º =
x
Con la ayuda de la calculadora tg22º = 0'4040, tg45º = 1
Consideramos el siguiente sistema de ecuaciones:
⎧h = (12 + x )tg22º
⎧h = (12 + x ) ⋅ 0'4040
substituyendo ⎨
⎨
⎩h = x ⋅ tg45 º
⎩h = x
Sea el triángulo rectángulo ABC

tg22º =

⎧h = x
⎨
⎩x = (12 + x ) ⋅ 0'4040
⎧h = x
⎨
⎩x = 4.8480 + 0'4040 x
⎧h =...