Universidad

4.3 CONCEPTO DE DIFERENCIAL.
INTERPRETACIÓN GOEMÉTRICA DE LOS DIFERENCIALES.



El concepto de diferencial

Existen muchas situaciones, dentro y fuera de lasmatemáticas, en que necesitamos estimar una diferencia, como por ejemplo en las aproximaciones de valores de funciones, en el cálculo de errores al efectuar mediciones (Valorreal menos valor aproximado) o simplemente al calcular variaciones de la variable dependiente cuando la variable independiente varía "un poco", etc. Utilizando a la recta tangentecomo la mejor aproximación lineal a la función en las cercanías del punto de tangencia, aproximaremos esta DIFERENCIA con la diferencia sobre la recta tangente, a la quellamaremos EL DIFERENCIAL de la función en el punto.



Definición y ejemplos
Consideremos la siguiente ilustración en donde aproximamos a la función f por su rectatangente.
[pic]

Concepto

Dada la función y = f(x), consideremos un punto (x, y) que satisfaga la función y = f(x). Los incrementos en el valor de x en una cantidadmuy pequeña (Δx), ese incremento se llama diferencial de la variable independiente x, y se escribe dx.
Cabría esperar que la diferencial de y (dy) fuese el incremento queexperimenta y (Δy), pero esto no es así. La diferencial de y es dy = f '(x) dx.
Consideremos la función y = x2. El incremento de y, (Δy) , cuando incrementamos x (Δ x),será (x + Δx)2 - x2 = 2xΔ x + (Δ x)2  en cambio, la diferencial de y (dy) es dy = 2x dx. El cuadrado de color rojo sería el trozo que no consideramos, al considerar Δy = dy.A pesar de que no es lo mismo la diferencial de y que el incremento de y, cuando el incremento de x es muy pequeño, la diferencial de y se puede considerar una muy grande.