Uso de matrices en el método de análisis por nudos

Uso de Matrices en el Método de Análisis por Nudos

En este caso, el procedimiento es el indicado, y que se resume de la forma:
i) Transformar los generadores de tensión en generadores de corriente.
ii) Obtener la matriz de admitancias de nudo (recuérdese que las admitancias mutuas serán siempre negativas).
iii) Obtener el vector de intensidades de excitación, suponiendo positivas lasintensidades del generador que entren en el nudo y negativas las que salgan.
iv) Resolver la ecuación matricial:

(Yn)•(un) = (ign)

v) Si algún generador es dependiente se rescribirá el sistema de ecuaciones pasando las variables al lado izquierdo de la ecuación, usando la definición de dichas fuentes, y poniendo tal definición en función de las tensiones de nudo. De aquí se obtendrá la nuevaexpresión matricial de admitancias, que, ahora, no será simétrica.

Circuitos Sin Acoplamientos Magnéticos

En este caso, todo el procedimiento anterior es válido y la obtención de la matriz de admitancias no presenta ninguna dificultad.

Circuitos con Acoplamientos Magnéticos

En este caso, no es posible obtener la matriz de admitancias del modo visto hasta ahora. Habría que retroceder alcapítulo de análisis por variables de rama y obtener la matriz de impedancias de rama (Zr). De ahí, calculando la inversa obtener la matriz de Admitancias de rama (Yr) = (Zr)-1. A continuación establecer la relación entre las tensiones de rama y las de nudo: (ur) = (A)•(un) y, por último, aplicar que (Yn) = (A)t•(Yr)•(A).
Una vez conocida la matriz de admitancias podemos seguir con el procesogeneral.

Veamos un ejemplo: Plantear las ecuaciones de nodos, considerando B como referencia, del circuito de la Fig. 3.
Figura 3 (Click para ampliar)

Vamos a obtener primeramente la matriz de impedancias de rama:
Ecuacion 9

de ahí, calculando la inversa obtendremos la matriz de admitancias de rama:
Ecuacion 10

Obtenemos ahora la matriz de conexión rama-nudo (A): (ur) = (A)•(un)Ecuacion 11

Finalmente, sabemos que (Yn) = (A)t•(Yr)•(A):
Ecuacion 12

Por último, la ecuación a resolver sería:
Ecuacion 13

Análisis de Circuitos con Fuentes Dependientes

En el caso de existir en el circuito generadores dependientes, será preciso introducir ecuaciones adicionales a las anteriores, que relacionen la tensión o la corriente de la fuente controlada, con las tensionesde los nudos; en este caso, el conjunto dará lugar a una matriz que ya no tendrá la propiedad de ser simétrica.
Veamos el siguiente ejemplo:
Plantear las ecuaciones de malla para el circuito de la Fig. 4.
Figura 4 (Click para ampliar)

Planteando para los nudos A y B, respectivamente:
Ecuacion 14

La corriente IB vale: IB = VB/5 , que sustituyendo nos da:
Ecuacion 15

Poniendo enforma matricial:
Ecuacion 16

Admitancia de Entrada

En los circuitos con una sola fuente de corriente nos interesa conocer los bornes de entrada. En la Fig. 5, la intensidad aplicada, designada por I1 genera una tensión en bornes que llamaremos V1. Puesto que sólo hay una fuente I1, la tensión V1 vendrá dada por la expresión:
Ecuacion 17

Figura 5 (Click para ampliar)

Se define laadmitancia de entrada como la relación entre I1 y V1:
Ecuacion 18

Admitancia de Transferencia

Una corriente aplicada en una parte de un circuito provoca una tensión en todos los nudos del mismo. Por ejemplo, una fuente de corriente conectada a una red pasiva produce una tensión de salida en una parte del circuito donde se conectaría una admitancia de carga. Se dice entonces que el circuitotiene una admitancia de transferencia. Consideremos el circuito pasivo de la Fig. 6, donde la corriente se ha denominado Ir y la tensión de salida Vs.
Figura 6 (Click para ampliar)

La ecuación de la tensión del nudo Vs contiene solamente un término, el debido a Ir, en el determinante del numerador:
Ecuacion 19

La admitancia de transferencia es la relación entre Ir y Vs:
Ecuacion 20...