Valores propios

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VALORES PROPIOS
En algebra lineal, los vectores propios, autovectores o eigenvectores de un operador lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a unmúltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Este escalar λ recibe el nombre valor propio, autovalor, valor característico o eigenvalor. A menudo, una transformación quedacompletamente determinada por sus vectores propios y valores propios. Un espacio propio, autoespacio o eigenespacio es el conjunto de vectores propios con un valor propio común.
La palabra alemana eigen, quese traduce en español como propio se usó por primera vez en este contexto por David Hilbert en 1904 (aunque Helmholtz la usó previamente con un significado parecido). Eigen se ha traducido tambiéncomo inherente, característico o el prefijo auto-, donde se aprecia el énfasis en la importancia de los valores propios para definir la naturaleza única de una determinada transformación lineal. Lasdenominaciones vector y valor característicos también se utilizan habitualmente.
#El valor propio de un vector propio es el factor de escala por el que ha sido multiplicado.

Ejemplo
Considérese lamatriz

que representa un operador lineal R³ → R³. Si se desea computar todos los valores propios de A, se podría empezar determinando el polinomio característico:

y porque p(x) = - (x - 2)(x -1)(x + 1) se ve que los valores propios de A son 2, 1 y -1. El teorema de Cayley-Hamilton establece que cada matriz cuadrada satisface su propio polinomio característico. Es decir

Efectivamente, parael caso del valor propio 2, se puede comprobar que

de donde (1, 1, -1) es un vector propio asociado a 2.

APLICACIONES:

En análisis factorial, los valores propios de la matriz de covarianzacorresponden a los factores, y los valores propios a las cargas. El análisis factorial es una técnica estadística usada en ciencias sociales y mercadotecnia, gestión de producto, investigación...
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