Variable aleatoria

Longitud de Curva

Las integrales aparecen en muchas situaciones prácticas. Consideremos una piscina. Si es rectangular, entonces, a partir de su longitud, anchura y profundidad, se puede determinar fácilmente el volumen de agua que puede contener (para llenarla), el área de la superficie (para cubrirla), y la longitud de su borde (para atarla). Pero si es ovalada con un fondo redondeado, todasestas cantidades piden integrales. Al comienzo puede ser suficiente con aproximaciones prácticas, pero al final harán falta respuestas exactas y rigurosas a este tipo de problemas.

Aproximaciones a la integral de √x entre 0 y 1, con ■ 5 muestras por la izquierda (arriba) y ■ 12 muestras por la derecha (abajo).
Para empezar, se considerará la curva y = f(x) entre x = 0 y x = 1, con f(x) = √x.La pregunta es:
¿Cuál es el área bajo la función f, al intervalo desde 0 hasta 1?
Esta área (todavía desconocida) será la integral de f. La notación para esta integral será
.
Como primera aproximación, se mira al cuadrado unidad dado por los lados x=0 hasta x=1 y y=f(0)=0 y y=f(1)=1. Su área es exactamente 1. Tal como se puede ver, el verdadero valor de la integral tiene que ser de algunaforma más pequeño. Reduciendo el ancho de los rectángulos empleados para hacer la aproximación se obtendrá un mejor resultado; así, se parte el intervalo en cinco pasos, empleando para la aproximación los puntos 0, 1⁄5, 2⁄5, así hasta 1. Se ajusta una caja cada paso empleando la altura del lado derecho de cada pedazo de la curva, así √1⁄5, √2⁄5, y así hasta √1 = 1. Sumando las áreas de estosrectángulos, se obtiene una mejor aproximación de la integral que se está buscando,

Nótese que se está sumando una cantidad finita de valores de la función f, multiplicados por la diferencia entre dos puntos de aproximación sucesivos. Se puede ver fácilmente que la aproximación continúa dando un valor más grande que el de la integral. Empleando más pasos se obtiene una aproximación más ajustada, pero noserá nunca exacta: si en vez de 5 subintervalos se toman doce y se coge el valor de la izquierda, tal como se muestra en el dibujo, se obtiene un valor aproximado para el área, de 0,6203, que en este caso es demasiado pequeño. La idea clave es la transición desde la suma de una cantidad finita de diferencias de puntos de aproximación multiplicados por los respectivos valores de la función, hastausar pasos infinitamente finos, o infinitesimales. La notación

concibe la integral como una suma ponderada (denotada por la "S" alargada), de los valores de la función (como las alzadas, y = f(x)) multiplicados por pasos de anchura infinitesimal, los llamados diferenciales (indicados por dx).

 Cálculo de áreas

Para el cálculo de áreas de regiones planas consideraremos en primer lugar elcaso en
que la región está determinada por la gráfica de una función en [a,b] y el eje Ox, y
después el caso en que la región la determinan los gráficos de dos funciones en
[a,b], distinguiendo entre si estas funciones se cortan o no.
Área de una región determinada por la gráfica de una función en [a,b] y el eje
Ox
La función toma valores positivos en todo [a,b]
Sea una función f (x)definida en el intervalo [a,b]. Si la función es no negativa
en [a,b], es decir, si f (x) ≥ 0 para todo x∈[a,b] , entonces el valor de la integral
definida de f (x) entre a y b ,
( ) b
a
∫ f x dx ,
es igual al área delimitada por la gráfica de la función f (x) con el eje Ox entre las
líneas verticales determinadas por x = a y x = b. Observamos que cuando f (x) es no negativa, su gráfica se sitúapor encima del eje
Ox , en la parte positiva del eje de ordenadas.

-La función toma valores negativos en todo [a,b]
Si la función f (x) es negativa (su gráfica se sitúa en la parte del plano que
corresponde al eje de ordenadas negativo) entonces el valor de la integral ( ) b
a
∫ f x dx
es negativo e igual en valor absoluto al del área delimitada por la gráfica de la
integral con el eje...