Variables aleatorias

Tema III VARIABLES ALEATORIAS

Cuando hablamos de variables aleatorias discretas  Px ( )

Cuando hablamos de variables aleatorias continuas Fx ( )


Por ejemplo: para el problema de los dados que se lanzan, la forma tabular de expresar una función sería la siguiente:

DISCRETO

X
Px (X)
(1,1) 2 1/36
(1,2) (2,1) 3 2/36
(1,3) (3,1) (2,2) 4 3/36
(1,4)(4,1) (3,2) (2,3) 5 4/36
(1,5) (5,1) (4,2) (2,4) (3,3) 6 5/36
(1,6) (6,1) (5,2) (2,5) (4,3) (3,4) 7 6/36
(2,6) (6,2) (4,4) (3,5) (5,3) 8 5/36
(3,6) (6,3) (5,4) (4,5) 9 4/36
(5,5) (6,4) (4,6) 10 3/36
(6,5) (5,6) 11 2/36
(6,6) 12 1/36

Cuya gráfica es:

Definiciones.

 Se dice que una variable aleatoria X es discreta si el número de valores que puede tomar es contable(ya sea finito e infinito) y si éstos pueden arreglarse en una secuencia que corresponde con los enteros positivos.

 Se dice que una variable aleatoria X es continua si sus valores consisten en uno o más intervalos de la recta de los reales.

Variable aleatoria.

Sea S un espacio muestral sobre el que se encuentra definida una función de probabilidad. Sea X una función de valor real,definida sobre S de manera que transforme los resultados de S en punto sobre la recta de los reales, se dice entonces que X es una variable aleatoria.

Se define a la función de distribución acumulada de la variable aleatoria como la probabilidad de que x sea menor o igual a un valor específico de x.La función de distribución acumulada representa la suma de las probabilidades puntuales hasta el valor de x de X inclusive.

 VARIABLES ALEATORIAS CONTÍNUAS

Dada la naturaleza continua del espacio muestral, resulta imposible determinar el valor preciso que exactamente toma una variable; por este motivo, para fenómenos continuos resulta más apropiado visualizarprobabilidades en intervalos.

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua X está caracterizada por una función, llamada función de densidad o probabilidad. Esta función no es la misma que para el caso discreto. Dado que existe que la probabilidad de que X tome el valor específico x es cero, esta función determina la probabilidad en un intervalo.




P(a  x  b)

a b



Análogamente, la función de distribución continua de una variable aleatoria continua X es la probabilidad de que X tome un valor menor o igual a un x específico.


x

Donde t es una variable artificial de integración


Dicho de otra forma: Valor esperado

La esperanza o valor esperado debe interpretarse por un promedio. Imagínese que en un experimento, por ejemplo un volado, se repite un número grande de veces, algunos se ganan y algunos se pierden. La pregunta que se hace el jugador es: después de la jornada de juego ¿cuánto espero haber ganado?

Valor Esperado E{X}



En lo general, elvalor esperado de una función g(x) de la variable aleatoria X está dado por:



El valor esperado no es una función, sino un número fijo y una propiedad de la distribución de probabilidad de la variable aleatoria.

El valor esperado puede o no existir dependiendo si la integral o la sumatoria converge o no.

Propiedades del valor esperado:



 Momentos de la variable aleatoria

Sonlos valores esperados de ciertas funciones de X; forman una colección de medidas descriptivas que pueden emplearse para caracterizar la distribución de probabilidad de X y especificarla si todos los momentos de X son conocidos.

A pesar que los momentos de X pueden definirse alrededor del cero o del valor esperado de X.

I. Momentos de orden “n” con respecto al origen

II. Momentos con...