Variables Aleatorias

Variables Aleatorias Funciones de Probabilidad Distribuciones de Probabilidad Referencia

Modelado y Simulaci´n II o
Modelado Estad´ ıstico Daniel A. Sierra Bueno
Escuela de Ingenier´ El´ctrica, Electr´nica y de Telecomunicaciones ıas e o

Universidad Industrial de Santander
Febrero 24 de 2011

(UIS-E3 T)

Febrero 24 de 2011

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Variables Aleatorias [1]

PreconceptoVariables Aleatorias Funciones de Probabilidad Distribuciones de Probabilidad Referencia

Una variable aleatoria es aquella que no puede ser expresada en forma determin´ ıstica (e.g. x(t) = 4sin(t) + 8cos(t)) El valor de la variable no es conocido con anticipaci´n. o Al igual que las se˜ales determin´ n ısticas puede ser continua o discreta.

Definici´n o
Una variable aleatoria es una funci´n queasigna un o n´mero real a cada resultado en el espacio muestral de un u experimento aleatorio.
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Notaci´n y Ejemplo o
Notaci´n o
Variables Aleatorias Funciones de Probabilidad Distribuciones de Probabilidad Referencia

Las variables aleatorias se denotan con letra may´scula u (e.g. X). El valor posible de la variable se denota en letra min´scula u(e.g. x). Rango de X es el conjunto de posibles valores de la se˜al. n

Ejemplos
Un sistema de comunicaci´n tiene 48 l´ o ıneas. Sea X la variable aleatoria que denota el n´mero de l´ u ıneas en uso en un determinado momento. X puede tomar cualquier valor x entre 0 y 48. El n´mero de ciclos de reloj que tarda un algoritmo en u ejecutarse en un equipo de c´mputo. o
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Variables Aleatorias Discretas y Continuas

Variables Aleatorias Discretas
Variables Aleatorias Funciones de Probabilidad Distribuciones de Probabilidad Referencia

Una variable aleatoria discreta es una variable aleatoria con un rango finito (o infinito contable). E.g. N´mero de l´ u ıneas ocupadas en el sistema de comunicaci´n. o

Variables Aleatorias Continuas
Una variablealeatorias continua es una variable aleatoria con rango definido por medio de intervalos en los reales (puede ser finito o infinito). E.g. El tiempo transcurrido hasta que un proyectil regresa a la Tierra.
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Distribuciones de una variable aleatoria
Definici´n o
Variables Aleatorias Funciones de Probabilidad Distribuciones de Probabilidad Referencia

El eventoformado por todos los resultados para los que X = x se denota como X = x, y la probabilidad del evento como P (X = x). La distribuci´n de probabilidad o distribuci´n de una o o variable aleatoria es una descripci´n del conjunto de o valores posibles de X (rango de X), junto con la probabilidad asociada a cada uno de estos valores.

Cuadro: Probabilidades de un evento aleatorio

x P (X = x)(UIS-E3 T)

0 0.04

1 0.32

2 0.64
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Distribuciones de una variable aleatoria

Variables Aleatorias Funciones de Probabilidad Distribuciones de Probabilidad Referencia

Funci´n de Probabilidad o La funci´n fX (x) = P (X = x) o del conjunto de los valores posibles de la variable aleatoria discreta X al intervalo [0, 1] recibe el nombre de funci´n o de probabilidad.Propiedades:
1 2 3

fX (x) = P (X = x) fX (x) ≥ 0 para toda x
x fX (x)

=1

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Funci´n de Distribuci´n Acumulada o o
La funci´n de distribuci´n o o acumulada de una variable aleatoria discreta X, denotada por FX (x) es FX (x) = P (X ≤ x) = xi ≤x f (xi ). Propiedades:
1

Variables Aleatorias Funciones de Probabilidad Distribuciones deProbabilidad Referencia

FX (x) = P (X ≤ x) = xi ≤x f (xi ) 0 ≤ FX (x) ≤ 1 Si x ≤ y, entonces FX (x) ≤ FX (y)
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Media - Varianza - Desviaci´n o
Media o Valor Esperado
Variables Aleatorias Funciones de Probabilidad Distribuciones de Probabilidad Referencia

La media o valor esperado de una variable aleatoria discreta X, denotada por µX o E(X), es...