Variables Aleatorias

Una variable aleatoria  X es continua si su función de distribución es una función continua.
En la práctica, se corresponden con variables asociadas con experimentos en los cuales la variable medida puede tomar cualquier valor en un intervalo: mediciones biométricas, intervalos de tiempo, áreas, etc.
Dentro de las variables aleatorias continuas tenemos las variables aleatorias absolutamentecontinuas.
Diremos que una variable aleatoria X continua tiene una distribución absolutamente continua si existe una función real f, positiva e integrable en el conjunto de números reales, tal que la función de distribución F de X se puede expresar como

Una variable aleatoria con distribución absolutamente continua, por extensión, se clasifica como variable aleatoria absolutamente continua.Concepto intuitivo

Informalmente una variable aleatoria puede concebirse como un valor numérico que está afectado por el azar. Dada una variable aleatoria no es posible conocer con certeza el valor que tomará esta al ser medida o determinada, aunque sí se conoce que existe una distribución de probabilidad asociada al conjunto de valores posibles. Por ejemplo, en una epidemia de cólera, se sabeque una persona cualquiera puede enfermar o no (suceso), pero no se sabe cual de los dos sucesos va a ocurrir. Solamente se puede decir que existe una probabilidad de que la persona enferme.
Para trabajar de manera sólida con variables aleatorias en general es necesario considerar un gran número de experimentos aleatorios, para su tratamiento estadístico, cuantificar los resultados de modo que seasigne un número real a cada uno de los resultados posibles del experimento. De este modo se establece una relación funcional entre elementos del espacio muestral asociado al experimento y números reales.

Definición formal

Una variable aleatoria  X es una función real definida en el espacio muestral, Ω, asociado a un experimento aleatorio.

La definición formal anterior involucra conceptosmatemáticos sofisticados procedentes de la teoría de la medida, concretamente la noción de espacio de probabilidad.
Dado un espacio de probabilidad  y un espacio medible , una aplicación  es una variable aleatoria si es una aplicación -medible.
En la mayoría de los casos se toma como espacio medible de llegada el formado por los números reales junto con la σ-álgebra de Borel (el generado por latopología usual de), quedando pues la definición de esta manera:
Dado un espacio de probabilidad  una variable aleatoria real es cualquier función -medible donde  es laσ-álgebra boreliana.

Rango de una variable aleatoria

Se llama rango de una variable aleatoria X y lo denotaremos RX, a la imagen o rango de la función , es decir, al conjunto de los valores reales que ésta puede tomar, segúnla aplicación X. Dicho de otro modo, el rango de una v.a. es el recorrido de la función por la que ésta queda definida:


Distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua

La distribución de probabilidad de una v.a. X, también llamada función de distribución de X es la función , que asigna a cada evento definido sobre  una probabilidad dadapor la siguiente expresión:

y de manera que se cumplan las siguientes tres condiciones:
1.  y 
2. Es continua por la derecha.
3. Es monótona no decreciente.
La distribución de probabilidad de una v.a. describe teóricamente la forma en que varían los resultados de un experimento aleatorio. Intuitivamente se trataría de una lista de los resultados posibles de un experimento conlas probabilidades que se esperarían ver asociadas con cada resultado.

Función de densidad de una variable aleatoria continua

La función de densidad de probabilidad (FDP) o, simplemente, función de densidad, representada comúnmente como f(x), se utiliza con el propósito de conocer cómo se distribuyen las probabilidades de un suceso o evento, en relación al resultado del suceso.
La FDP es...