Variables de estado

TEMA III.- ESTUDIO DE SISTEMAS DISCRETOS EN VARIABLES DE ESTADO

n este capítulo se aborda un nuevo enfoque para el estudio de los sistemas lineales. Sus características fundamentales son que se trabaja en el dominio del tiempo directamente, sin tener que pasar a dominios transformados, y además la ecuación en diferencias de orden n que determina al sistema se descompone en n ecuaciones deorden uno que admiten un tratamiento común, independientemente del sistema que esté siendo considerado

3.1.- INTRODUCCIÓN El enfoque clásico de E/S tiene limitaciones importantes: - Linealidad. - Invarianza en el tiempo, salvo que se apliquen métodos de convolución. - Entrada y salida únicas. La teoría de variables de estado, permite el estudio de sistemas no lineales, variantes en el tiempo y conentradas y salidas múltiples, y además permite tener conocimiento de las variables internas del sistema.

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3.2.- DEFINICIONES BÁSICAS Interesa tener en cuenta algunos definiciones: Sistema: Conjunto de pares ordenados de funciones del tiempo que representan entradas y salidas. Estado: Mínima cantidad de información pasada, necesaria para describir el comportamiento del sistema, en unmomento determinado. Variables de estado: El conjunto más pequeño de variables, x1(k), x2(k),...,xn(k), tales que el conocimiento de sus valores en un instane inicial ko y el de las entradas u(k), para k ≥ ko, determinan totalmente el comportamiento futuro del sistema, es decir para k > ko Vector de estado: Es el vector que tiene por componentes las variables de estado.  x 1 (k )   x (k )  x(k) =  2   ...     x n (k ) Espacio de estado: Es el espacio n-dimensional, cuyos ejes de coordenadas son las variables de estado. Un estado del sistema, sería un punto de este espacio de estado. La elección de las variables de estado no es única, pero su número si que está determinado por el orden de la ecuación diferencial que representa la dinámica del sistema. En una ecuacióndiferencial, los valores iniciales definen el estado inicial del sistema, y esta definición viene dada por el valor de la variable y el de todas sus derivadas hasta un grado menor al orden de la ecuación diferencial. Por ejemplo en una ecuación de segundo orden: a d 2 y( t ) dt Las condiciones iniciales serían: y ( 0) dy dt t = 0
2

+b

dy ( t ) + cy ( t ) = u ( t ) dt

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que constituyen lamínima información necesaria para describir al sistema en el instante t=0. Es decir, esa información determina el estado inicial. Esos mismos valores para todos los instantes de tiempo, constituyen las variables de estado. En este caso:  y( t )    x(t) =    dy ( t )   dt    El número de variables de estado en este caso es dos, que coincide con el orden de la ecuación diferencial. Labúsqueda de la ecuación diferencial que determina la dinámica del sistema, es lo que constituye la problemática del modelado de sistemas. El sistema real es sustituido por un modelo matemático cuyas ecuaciones se aproximan al comportamiento real. Estas ecuaciones, o se calculan por consideraciones físicas, o bien se obtienen por técnicas de identificación de sistemas.

3.3.- DESCRIPCIÓN DE UN SISTEMALINEAL POR MEDIO DE VARIABLES DE ESTADO. Tanto en los sistemas continuos, que se describen por ecuaciones diferenciales, como en los sistemas discretos cuyo comportamiento viene dado por ecuaciones en diferencias, la técnica de variables de estado permite representar al sistema por un conjunto de ecuaciones de primer orden, al que después se le pueden aplicar métodos sistemáticos y unificarlosindependientemente del sistema de que se trate. Consideremos por ejemplo un sistema discreto lineal e invariante de entrada-salida única, de ecuación: y ( k ) + b1y ( k − 1) + ... + b n y ( k − n ) = a 0 u ( k ) que correspondería a un diagrama de bloques, como el indicado en la figura:

Fig. 3.1.- Representación de la ecuación en diferencias de un sistema discreto

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La ecuación en...