Variación de parámetros

Variación de parámetros
d2y dy a2 ( x) 2 + a1 ( x) + a0 ( x) y = g ( x) dx dx
y "+ P( x) y '+Q( x) y = f ( x)
y = c1y1(x) + c2y2(x) + yp, yc = c1y1(x) + c2y2(x), yp = u1y1(x) + u2y2(x),
y1u1 '+ y2u 2 ' = 0 y1u1 '+ y2u 2 ' = f ( x)

u1 ' =

W1 W
W2 =

u2 ' =
y1 y1 '

W2 W

W=

y1 y2 y1 ' y2 '

W1 =

0 f ( x)

y2 y2 '

0 f ( x)

Clase 11 Ecuaciones Diferenciales

Mtro.Sergio Carrasco Romo 44

Ejemplo_01 Resolver la EDO por variación de parámetros
y "+3 y '+2 y = sin e x

W1 =

0 f ( x)
−x

y2 y2 '

W2 =

y1 y1 '
e− x − e− x

0 f ( x)

m 2 + 3m + 2 = 0 (m + 2)(m + 1) = 0

W (e

−2 x

e−2 x ,e )= − 2e −2 x

W = −e −3 x + 2e −3 x = e −3 x ≠ 0

m1 = −2
y1 = e
−2 x

m2 = −1
y2 = e
−x

0 u1 ' = sin e x

e−x − e−x

e −3 x e−2x − 2e − 2 x e −3 x 0

=

− e − x sin e x = −e x e x sin e x −3 x e
e −2 x sin e x = = e x sin e x −3 x e
Mtro. Sergio Carrasco Romo 45

u1 '=
W=

W1 W
y1 y1 ' y2

u2 '=

W2 W
u2 ' =

sin e x

y2 '

Clase 11 Ecuaciones Diferenciales

1

∫

du1 = − ∫ e x e x sin e x dx = −(−e x cos e x + ∫ e x cos e x dx) dx u1 = e x cos e x − sin e x

u = ex du = e x dx x x dv = e xsin e x dx ∫ dv =∫ e sin e dx

v = − cos e x
u 2 = − cos e x

∫

du 2 dx = ∫ e x sin e x dx = − cos e x dx

y1 = e − 2 x

y2 = e − x

⇒

yc = c1e −2 x + c2e − x

yp = u1y1(x) + u2y2(x),

y p = (e x cos e x − sin e x )e −2 x + (− cos e x )e − x = −e − 2 x sin e x
y = yc + y p

⇒

y = c1e −2 x + c2 e − x − e −2 x sin e x
Clase 11 Ecuaciones Diferenciales Mtro. SergioCarrasco Romo 46

Ejemplo_02 W u1 ' = 1 Resolver la EDO por W variación de parámetros
y "+2 y '+ y = e − x ln x
y = yc + y p

u2 ' = 0 f ( x) y2 y2 '

W2 W

W=

y1 y1 '

y2 y2 '

W1 =

W2 =

y1 y1 '

0 f ( x)

y "+2 y '+ y = 0

e− x W= − e− x
W1 = W2 = u1 ' =

a = 1, b = 2, c = 1 m 2 + 2m + 1 = 0
(m + 1) 2 = 0 y1 = e − x
−x

xe − x = − xe −2 x + e −2 x + xe −2 x − xe − x+ e − x = e −2 x ≠ 0
0 xe − x = − xe −2 x ln x −x −x −x e ln x − xe + e e−x − e−x 0 = e −2 x ln x −x e ln x
u2 ' = e −2 x ln x = ln x e −2 x

m1 = m2 = −1
−x

y2 = xe − x

yc = c1e + c2 xe
y p = u1 y1 + u 2 y2

− xe −2 x ln x = − x ln x e −2 x
Clase 11 Ecuaciones Diferenciales

Mtro. Sergio Carrasco Romo 47

2

∫

du1 du dx = − ∫ x ln xdx ∫ dx2 dx = ∫ ln xdx dx 1 2 1 x2 xdx) u1 = − ( x ln x − ∫ u2 = x ln x − ∫ dx 2 2 x x 1 2 1 2 u1 = − x ln x + x u2 = x ln x − x 2 4 1 1 u = ln x u = ln x du = dx du = dx x 1 x v = x2 dv = xdx dv = dx v=x 2 y p = u1 y1 + u 2 y2 y1 = e − x y2 = xe − x 1 1 y p = (− x 2 ln x + x 2 )e − x + ( x ln x − x) xe − x 2 4 1 2 −x 1 y p = − x e ln x + x 2e − x + x 2 e − x ln x − x 2 e − x 2 4 1 2 −x 3 y = c1e − x + c2 xe − x + x e ln x − x 2e − x2 4 Mtro. Sergio Carrasco Romo 48 Clase 11
Ecuaciones Diferenciales

Ecuación diferencial lineal con coeficientes variables…especiales
an x n dny d n −1 y dy + an−1 x n−1 n −1 + L + a1 x + a0 y = g ( x ) n dx dx dx

Ecuación de Cauchy – Euler
mismo valor mismo valor

an x n

dny d n −1 y dy + an−1 x n−1 n −1 + L + a1 x + a0 y = g ( x ) n dx dx dx

Clase 11 Ecuaciones DiferencialesMtro. Sergio Carrasco Romo 49

3

Un caso particular EDO de segundo orden
ax 2 d2y dy + bx + cy = 0 2 dx dx

Método de solución
y = xm
dy = mx m −1 dx am(m − 1) x m + bmx m + cx m = 0 x m (am( m − 1) + bm + c ) = 0 x m am 2 − am + bm + c = 0 xm
2

d y = m(m − 1) x m − 2 dx 2
ax 2 m(m − 1) x m −2 + bxmx m −1 + cx m = 0

2

( (am

) + (b − a ) m + c ) = 0
am 2 + (b − a )m + c =0
Mtro. Sergio Carrasco Romo 50

xm ≠ 0

Clase 11 Ecuaciones Diferenciales

am 2 + (b − a )m + c = 0 Caso I Raíces reales distintas

⇒

m1 ≠ m2 Conjunto solución

y1 = x m1

y2 = x m2

y = c1 x m1 + c2 x m2 ⇒ m1 = m2

Caso II Raíces reales repetidas
y1 = x m1
− P ( x ) dx e ∫ y2 = y1 ( x) ∫ 2 dx y1 ( x)
b − dx ax

d2y dy ax + bx + cy = 0 2 dx dx
2

y2 = x m1 ∫
=x
m1...