Varias Variables

Funciones de Rn → Rm
Una funcion f : Rn → Rm es una funci´n cuyo dominio es un subconjunto Ω ⊂ Rn . Denotada
o
por f : Ω ⊂ Rn → Rm donde a cada x ∈ Rn f le asigna un vector f (x) ∈ Rm .
Ejemplo.- La funci´n f (x, y ) = x2 + y 2 asocia a la pareja (x, y ) ∈ R2 el n´mero real x2 + y 2 . El
o
u

dominio de f en este caso es todo R2
Ejemplo.- La funci´n f (x, y, z ) =
o

1 − x2 − y 2 − z2 asocia a la terna (x, y, z ) ∈ R3 el n´mero
u

1 − x2 − y 2 − z 2 donde el dominio de f es

real

Domf = {(x, y, z ) ∈ R3 |1 − x2 − y 2 − z 2 ≥ 0} = {(x, y, z ) ∈ R3 |x2 + y 2 + z 2 ≤ 1}
Ejemplo.- La funci´n f : R3 →
o

dada por f (x, y, z ) = (x2 + y 2 + z 2 , x + y + z ) asocia a la terna

(x, y, z ) ∈ R3 el vector (x2 + y 2 + z 2 , x + y + z ) ∈ R2 . Donde f tiene por dominiotodo R3 , pero
su imagen contiene s´lo los vectores R2 cuya primera coordenada es no negativa.
o
Ejemplo.- La funci´n g : R3 → R2 dada por g (x, y, z ) = (3x + 4, 3y + 5z ) asocia a la terna
o

(x, y, z ) ∈ R3 el vector (3x + 4, 3y + 5z ) ∈ R2 a esta funci´n podemos pensarla como un
o
producto de matrices es decir



x
3x + 4y
3 4 0 

=
 y 

3y + 5z
0 3 5 
zDefinici´n.- Dada la funci´n f : Ω ⊂ Rn → R, definimos su gr´fica como el subconjunto Rn+1
o
o
a

{(x1 , ..., xn , f (x1 , ..., xn )) ∈ Rn+1 |(x1 , ..., xn ) ∈ Ω}
En el caso n = 1, la gr´fica es una curva en R2 y en el caso n = 2, la gr´fica es una
a
a
superficieen R3 . Para dimensiones mayores es dificil visualizar. Para uperar esta dificultad se
introduce la idea de conjunto de nivel
Definici´n 1.Sea Ω ⊂ Rn y a ∈ R. Se define el conjunto de nivel de f del valor a, como el
o
conjunto
C (f, a){x ∈ Ω|f (x) = a}
1

En el caso n = 2 hablamos de curvas de nivel, y si n = 3 hablamos de superficies de nivel.
Ejemplo.-La funci´n f : R2 → R dada por f (x, y ) = x2 + y 2 tiene como gr´fica el paraboloide
o
a
de revoluci´n z = x2 + y 2
o

Las curvas de nivel son: el vacio para a < 0, ypara a > 0 es el conjunto
{(x, y ) ∈ R2 |x2 + y 2 = a}
, es decir un c´
ırculo de radio

√
a con centro en el origen

Ejemplo.-La funci´n f : R2 → R dada por f (x, y ) = x2 − y 2 tiene como gr´fica el paraboloide
o
a
hiperbolico z = x2 − y 2

2

Las curvas de nivel son: para a = 0 ⇒ x2 − y 2 = 0 par de rectas que se cortan en el origen,
y para a = 1 ⇒ x2 − y 2 = 1 es una hiperbolaparalela al eje X que lo corta en (±1, 0), para
a = −1 ⇒ x2 − y 2 = −1 es una hiperbola paralela al eje Y y que lo corta en (0, ±1)

Ejemplo.-La funci´n f : R3 → R dada por f (x, y, z ) =
o

x2 + y 2 + z 2 tiene el siguiente conjunto

de nivel
{(x, y, z ) ∈ R3 |

x 2 + y 2 + z 2 = a}
x2 + y 2 + z 2 = 0 el origen, y para a = 1 ⇒

Las superficies de nivel son: para a = 0 ⇒
x2 + y 2 + z 2= 1 es una esfera, a = 2 ⇒

x2 + y 2 + z 2 = 2 es una esfera

Ejemplo.-La funci´n f : R3 → R dada por f (x, y, z ) = x2 − y 2 + z 2 tiene el siguiente conjunto
o
de nivel
{(x, y, z ) ∈ R3 |x2 − y 2 + z 2 = a}
Las superficies de nivel son: para a = 0 ⇒ x2 − y 2 + z 2 = 1 es un hiperboloide de un manto, y
para a = 1 ⇒ x2 − y 2 + z 2 = 1 es un hiperboloide de un manto, a = 2 ⇒
unhiperboloide de un manto

3

x2 − y 2 + z 2 = 2 es

L´
ımite de Funciones de Rn → Rm
Definici´n.- Sea f : Ω ⊂ Rn → Rm , y sea x0 un punto de acumulaci´n de Ω. Se dice que b Rm
o
o

es el l´
ımite de f en x0 , y se denota por:

l´ f (x) = B
ım

x→x0

Si dado ε > 0, existe δ > 0 tal que f (x) − b < ε cuando x Ω, 0 < x − x0 < δ

Observaci´n: Es necesar´ que x0 sea punto de acumulacion deΩ. Usando la definici´n de
o
ıo
o

l´
ımite, demostrar que:
x4 y 2
=0
(x,y )→(0,0) (x2 + y 2 )2
l´
ım

Por demostrar, para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que 0 < (x, y ) − (0, 0) < δ entonces
x4 y 2
1
1
< ε como x2 ≤ x2 + y 2 entonces x4 ≤ (x2 + y 2 )2 entonces 2
≤4
(x2 + y 2 )2
(x + y 2 )2 (∗) x
∴

∴

x4 y 2
x4 y 2
≤
≤ |y 2 | = y 2 ≤ ( x2 + y 2 )2 < δ 2
2 + y 2 )2
4...