Vectores-Soluciones

7

VECTORES

Página 171
REFLEXIONA Y RESUELVE
Multiplica vectores por números
■

Copia en un papel cuadriculado los cuatro vectores siguientes:

8

a

8

c

8

d

8

b

Representa:
8

8

a) 2 a

b) 5 b

c)

1 8
c
3

8

8

8

8

Expresa el vector d como producto de uno de los vectores a , b o c por un
número.
Designa los vectores anterioresmediante pares de números. Por ejemplo:
8
a (2, 3)
Repite con pares de números las operaciones que has efectuado anteriormente.
8

8

• d = –2,5 b =
8

8

–5 8
b
2

• a (2, 3)

1/3 c

8

b(–2, –2)

8

8

2a

c (3, 0)

8

8

5b

d (5, 5)
8

8

d = –5/2 b

8

• 2 a = 2 (2, 3) = (4, 6)
8

5 b = 5 (–2, –2) = (–10, –10)
1 8 1
c = (3, 0) = (1, 0)
3
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Suma vectores
■

Efectúa gráficamente:
8

8

8

a) a + c

8

8

b) b + c
8

8

8

8

c) b + a

8

8

d) a + b + c

8

siendo a , b y c los del ejercicio anterior.
Realiza las mismas sumas con pares de números.
8

8

Por ejemplo: a + c = (2, 3) + (3, 0) =(5, 3)
8

8

8

8

8

8

8

8

a) a + c = (2, 3) + (3, 0) = (5, 3)
b) b + c = (–2, –2) + (3, 0) = (1, –2)
c) b + a = (–2, –2) + (2, 3) = (0, 1)
8

d) a + b + c = (2, 3) + (–2, –2) + (3, 0) = (3, 1)
8

c

a)

b)

8

a

8

8

8

8

b

8

b+c

8

a+c

c)

8

8

a

d)

8

8

b+a

b

8

8

8

8

c

b

c

a

8

8a+b+c

Combina operaciones

8

u

8

v

8

w

■

8

8

8

Con los vectores u, v y w efectúa las siguientes operaciones gráficamente y
mediante pares de números:
8

8

8

a) 2 u + 3v

8

b) –v + 5w

8

8

8

c) 2 u + 3 v – 4 w

¿Cómo designarías al vector resultante de esta última operación?
8

8

8

8

8

8

a) 2 u + 3 v = 2 (3, 1) + 3(2, –2) = (6, 2) + (6, –6) = (12, –4)
b) – v + 5 w = –(2, –2) + 5 (3, –1) = (–2, 2) + (15, –5) = (13, –3)
8

c) 2 u + 3 v – 4 w = 2 (3, 1) + 3 (2, –2) – 4 (3, –1) = (6, 2) + (6, –6) + (–12, 4) = (0, 0)
8

Vector nulo: 0

2
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UNIDAD

a)

b)

8

2u

8

8

8

8

–v

3v5w
8

8

8

–v + 5w

2u + 3v

c)

7

8

2u

8

3v
8

–4w

Página 175
8

8

1. Si u(–2, 5) y v (1, –4) son las coordenadas de dos vectores respecto de una base, halla las coordenadas respecto de la misma base de:
8
8
8
8
8
8
1 8
1 8
a) 2 u + v
b) u – v
c) 3 u +
d) – u – 2 v
v
3
2
8

8

a) 2 u + v = 2 (–2, 5) + (1, –4) = (–4, 10) + (1, –4) = (–3, 6)8

8

b) u – v = (–2, 5) – (1, –4) = (–2, 5) + (–1, 4) = (–3, 9)

(

) (
)
1
1
–5
11
d) – u – 2 v = – (–2, 5) – 2 (1, –4) = (1,
+ (–2, 8) = (–1,
2
2
2 )
2 )
1 8
1
1 –4
–17 41
v = 3 (–2, 5) +
,
=
,
(1, –4) = (–6, 15) +
3
3
3 3
3
3

8

c) 3 u +

8

8

Página 176
8

8

8

8

1. Dos vectores u y v cumplen que: |u| = 4, |v| =
8

8

a) u · v
88

8

8

8

8

8

b) v · u
8

d) (3u) · (–5v )
8

8

ì
3
8 8
, ( u, v ) = 30°. Calcula:
2

8

e) u · u
ì
8 8

8

a) u · v = |u| |v| cos ( u, v ) = 4 ·
8

8

8

c) (–u) · v
8

8

f) v · (–v )

√3
3
· cos 30° = 6 ·
= 3√3
2
2

8

b) v · u = u · v = 3√3
8

8

8

8

c) (–u) · v = – ( u · v ) = –3√3
8

8

8

8

d) (3u) · (–5v) = 3(–5) ( u · v ) = –15 · 3√3 = –45√3
8

8

8

e) u · u = |u| 2 cos 0° = 16
8

8

8

8

8

f) v · (–v ) = –v · v = –|v|2 = –

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9
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8

8

8

8

8 8

2. Si |u| = 3, |v| = 5 y u · v = –2, averigua el ángulo ( u, v ). (Usa la calculadora).
8

ì

8

8

ì...