Vectores

Vectores
Cantidades vectoriales y escalares
Las cantidades físicas que estudiaremos en los cursos de física son escalares o
vectoriales.
Una cantidad escalar es la que está especificada completamente por un número
con unidades apropiadas. Una cantidad escalar sólo tiene magnitud. Ejemplos de
cantidades escalares son la temperatura, el volumen, la masa, los intervalos de
tiempo, etc.
Paramanejar cantidades escalares se emplean Las reglas de la aritmética
ordinaria.
Una cantidad vectorial es una cantidad física especificada por un número con
unidades apropiadas más una dirección. Una cantidad vectorial tiene tanto
magnitud como dirección y punto de aplicación. Ejemplos de cantidades
vectoriales son la fuerza, la velocidad, la aceleración, etc.
y

∆x
O

xi

xf

x(b)

Figura 1.

Figura 2.

Otro ejemplo de cantidad vectorial es el desplazamiento. Ejemplo ir del punto O
hasta el punto P. Véase la figura 1. Si una partícula se mueve a lo largo del eje x
desde la posición xi hasta la posición xf, como se muestra en la figura 2, su
desplazamiento está dado por ∆x = x - x .
f
i
Notación
A veces se emplean letras mayúsculas y negras, A por ejemplo,para representar
una cantidad vectorial.
Otro manera común en la notación vectorial, es el dibujar una barra o flecha sobre
la letra ( A ). La magnitud del vector A se escribe como IAI.

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La magnitud de un vector tiene unidades físicas, como ejemplo metros para el
desplazamiento o metros por segundo para la velocidad.
Sistemas de coordenadas
Para especificar posiciones en el espacio seutilizan los sistemas de coordenadas.
Un sistema de coordenadas se compone de lo siguiente:
•
•
•

Un punto de referencia fijo, O, denominado el origen
Un conjunto de ejes especificados con escalas y leyendas apropiadas sobre
los ejes
Instrucciones sobre cómo marcar un punto en dicho espacio.

Coordenadas rectangulares. En el plano, la posición de un punto P se puede
especificar conlas coordenadas rectangulares (x, y) donde x representa la
distancia desde un origen hasta el punto P en la dirección horizontal y y
representa la distancia desde un origen hasta el punto P en la dirección vertical.
Así, en la figura 3, P esta localizado en las coordenadas rectangulares (3, 4).
Coordenadas polares. En el plano, la posición de un punto P también se puede
especificar con lascoordenadas polares (r, θ) donde r representa la distancia
desde el origen hasta el punto P y θ representa el ángulo formado por la línea OP
y el eje positivo de las x. En la figura 3, P se localiza en las coordenadas polares
(5, 53.1o).
z

y
P (x, y)

P (x, y, z)
r

r

ˆ
k

θ
ˆ
j

ˆ
i

x

ˆ
i

ˆ
j

y

x

Figura 3.

Figura 4.

Relación entre coordenadas polaresy coordenadas cartesianas
De acuerdo con la figura 3, a partir de las coordenadas polares, las coordenadas
rectangulares pueden obtenerse con las ecuaciones
x = rcosθ

y = rsenθ
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Asimismo, las coordenadas polares pueden obtenerse de las coordenadas
cartesianas mediante las relaciones
y
θ = tan -1
x
r = x 2 + y2
Las calculadoras científicas proporcionan conversiones entre lascoordenadas
cartesianas y polares a partir de esta convención.

En el espacio, un vector se grafica como se muestra en la figura 4.

Vectores unitarios
Las cantidades vectoriales se expresan con frecuencia en términos de vectores
unitarios. Un vector unitario es un vector sin dimensiones que tiene una magnitud
exactamente igual a uno. Los vectores unitarios se utilizan para especificar unadirección determinada y no tienen otro significado físico. Se usan sólo por
conveniencia en la descripción de una dirección en el espacio.
y
z

ˆ

Ay j

ˆ
k

A

ˆ
j

ˆ
i
x

Ax ˆ
i

y

x
(b)

(a)

Figura 5.
Los símbolos i, j y k se utilizan para representar vectores unitarios que apuntan en
las direcciones positivas de los ejes x, y y z, respectivamente. Los...