vectores

Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro.



Componentes de un vector en el espacio
Si las coordenadas de A y B son:A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) Las coordenadas o componentes del vector  son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

Determinar la componentes de los vectores que se pueden trazarel el triángulo de vértices A(−3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C(−1, 2, 1).






Módulo de un vector
El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.
El módulo deun vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero.
Cálculo del módulo conociendo sus componentes


Dados los vectores y , hallar los módulos de  y ·


Cálculo delmódulo conociendo las coordenadas de los puntos




Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos dichos puntos.

Hallarla distancia entre los puntos A(1, 2, 3) y B(−1, 2, 0).



Vector unitario
Un vector unitario tiene de módulo la unidad.
La normalización de un vector consiste en asociarle otro vector unitario, dela misma dirección y sentido que el vector dado, dividiendo cada componente del vector por su módulo.



Operaciones de vectores en el espacio
Suma de vectores
Para sumar dos vectores se suman susrespectivas componentes.


Ejemplos
Dados = (2, 1, 3),  = (1, −1, 0),  = (1, 2, 3), hallar el vector  = 2u + 3v − w.
 = (4, 2, 6) + (3, −3, 0) − (1, 2, 3) = (6, −3, 3)
Dados los vectores  y ,hallar el módulo del vector .


Propiedades de la suma de vectores
Asociativa
 + ( +  ) = ( + ) + 
Conmutativa
 +  =  + 
Elemento neutro
 +  = 
Elemento opuesto
 + (− ) = 


Producto de unnúmero real por un vector
El producto de un número real k   por un vector  es otro vector:
De igual dirección que el vector .
Del mismo sentido que el vector  si k es positivo.
De sentido...