Vectores

Geometría en
el espacio
Laura
Hidalgo Solís
El espacio
cartesiano
Distancia
entre dos
puntos

Geometría en el espacio
Puntos y Vectores

Vectores en
el espacio

Laura Hidalgo Solís
Universidad Autónoma Metropolitana
Unidad Iztapalapa

16 de Marzo de 2012

Geometría en
el espacio
Laura
Hidalgo Solís

Introducción

El espacio
cartesiano
Distancia
entre dos
puntosVectores en
el espacio

En Geometría analítica plana las relaciones y las
propiedades geométricas se expresan por medio de
ecuaciones que contienen, en general, dos variables. En
Geometría analítica del espacio, en cambio, tales
ecuaciones contienen, en general, tres variables, y, es
evidente, que la presencia de esta variable adicional traerá
una mayor complicación analítica que lasrelaciones con el
plano . Además, la tercera dimensión de la Geometría
analítica del espacio exigirá más trabajo para poder de
visualizar las figuras en el espacio que el que requiere para
figuras en el plano.

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el espacio
Laura
Hidalgo Solís
El espacio
cartesiano
Distancia
entre dos
puntos
Vectores en
el espacio

El espacio cartesiano
Sea R3 el conjunto de ternasordenadas de números reales,
esto es,
R3 = R × R × R = {(x, y , z); x ∈ R, y ∈ R, y z ∈ R}.
Dadas dos ternas ordenadas (x, y , z), (x , y , z ) ∈ R3 son
iguales si, y sólo si x = x , y = y y z = z .
Como veremos, cada terna ordenada (x, y , z) ∈ R3 se
puede asociar de manera única con un punto del espacio, y
cada punto del espacio se puede asociar en forma única
con una terna ordenada de númerosreales mediante un
sistema de coordenadas cartesianas rectangular en tres
dimensiones.

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Laura
Hidalgo Solís
El espacio
cartesiano
Distancia
entre dos
puntos
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el espacio

Consideremos tres planos mutuamente perpendiculares
que se cortan en el punto común 0, tal como se indica en la
siguiente figura:

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Laura
HidalgoSolís
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cartesiano
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entre dos
puntos
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el espacio

Como el punto en el espacio va a localizarse con referencia
a estos elementos, los planos se llaman planos
coordenados, las rectas de intersección de estos planos se
llaman ejes coordenados. El punto de intersección de los
tres planos 0 = (0, 0, 0) es el origen del sistema de
coordenadas rectangulares.Teniendo lo anterior estamos en libertad de designar los
ejes coordenados como queramos. Un convenio es el
indicado en la figura anterior; se dice entonces que el
sistema de coordenadas es un sistema de mano derecha.
Los ejes coordenados son:
1

El eje x es la recta determinada por 0 y x.

2

El eje y es la recta determinada por 0 y y .

3

El eje z es la recta determinada por 0 y z.Su dirección positiva está indicada en cada uno de los ejes
por una flecha.

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cartesiano
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el espacio

Cada plano coordenado se designa por los dos ejes
coordenados que contiene. Así, el plano coordenado que
contiene al eje x y al eje y se llama plano xy ;
análogamente, tenemos los planosxz y yz. Los tres planos
coordenados dividen el espacio en ocho regiones llamadas
octantes. El octante determinado por las partes positivas de
los ejes coordenados se llama primer octante; no se
acostumbra asignar ningún número a los siete octantes
restantes, sin embargo se identifican mediante los signos
de las componentes de ls ternas coordenadas a las que
están asociados, como (+, −, +).En la práctica, no es necesario representar el sistema de
coordenadas trazando los planos coordenados como
aparecen en la figura anterior; será suficiente trazar
solamente los ejes coordenados, además marcamos una
unidad, como se indica en la siguiente figura:

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cartesiano
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