Vectores

1. Vectores en el plano
1.1 Conceptos básicos El concepto de vector guarda estrecha relación con la idea geométrica de segmento de línea dirigido, de manera que un vector tiene magnitud y dirección. Los vectores pueden representarse geométricamente (ver figura 1.1) como segmentos de rectas dirigidas, o flechas, en un espacio bidimensional o tridimensional; la punta de la flecha especifica ladirección del vector y la longitud describe su magnitud. La cola de la flecha se llama punto inicial u origen del vector y la punta es el punto final o extremo. B A
Fig. 1.1

A - Punto inicial (origen) B - Punto final (extremo)

Notación: para denotar un vector, generalmente usaremos una letra con una raya encima, por ejemplo, a , b , c , etcétera. Para denotar el vector que va de A a B, esdecir, aquel cuyo origen es A y cuyo extremo es B, escribiremos AB . Se dice que dos vectores son iguales si tienen la misma magnitud y dirección. De esta manera, dos vectores pueden considerarse iguales aun cuando puedan estar localizados en lugares diferentes. a
b
−→

a=b

Fig. 1.2

Así pues, para cada vector dado QR , existirá una infinidad de vectores iguales, pero sólo uno de ellos tienesu punto inicial en el origen del sistema coordenado. Se llamará vector de posición a todo vector cuyo origen coincide con el del sistema coordenado. De esta manera, si cada vector en el plano se identifica con el vector de posición que es igual al vector dado, entonces quedará identificado con un punto del plano: el extremo del vector de posición correspondiente. En adelante, para referirse a unvector en el plano, se

−→

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recurrirá con frecuencia al vector de posición correspondiente, y, por lo tanto, al extremo de dicho vector.1 Así, por ejemplo, el vector AB de la figura 1.3 se identificará con el vector OP el cual se traza, por supuesto, de manera que sea paralelo a AB y que tenga su misma magnitud; y, por lo tanto, con el punto de coordenadas (4, 3).
−→ −→ −→

Fig. 1.3Por lo anterior, dado en el plano un vector de posición v (ver figura 1.4) cuyo extremo sea el punto ( x, y ) , su magnitud, || v || , podrá determinarse, de acuerdo con el teorema de Pitágoras, mediante || v ||= x 2 + y 2 (1.1) Por otra parte, su dirección podrá determinarse por medio del ángulo en posición normal del vector, es decir, aquel ángulo cuyo lado inicial es el lado positivo deleje X, y cuyo lado terminal es el vector mismo.

Fig. 1.5

Otra manera de proceder con los vectores, equivalente a la aquí descrita, es la de imaginar un sistema coordenado cuyo origen coincida con el del vector de interés.

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1.1 Vectores en el plano: conceptos básicos

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Ejemplo 1.1 Considerando el vector AB de la figura 1.5, tenemos que QA = 2.17 y AP = 0.77 . De esta manera, lamagnitud del vector es, entonces, 2.17 2 + 0.77 2 ≅ 2.3 . Ahora bien, a partir de la misma figura podemos decir que θ = arctan (0.77 / 2.17) ≅ 19.54° , de manera que la dirección del vector será, aproximadamente, 180° − 19.54° = 160.46° . Adición de vectores La adición de dos o más vectores se define gráficamente (ver figura 1.6) por la ley del polígono: desde el extremo de cualquiera de ellos setraza un segundo vector (conservando su magnitud y dirección), partiendo del extremo de éste se traza un tercer vector, y así sucesivamente. Una vez que se dibujan todos los vectores, el vector suma, o vector resultante ( r en la figura), es aquel que va del origen del primero al extremo del último.
−→

Fig. 1.6

En el caso de que se sumen sólo dos vectores, el polígono resulta ser un triángulo(figura 1.7a). Si los dos vectores se dibujan de manera que sus orígenes coincidan, el vector resultante será la diagonal del paralelogramo definido por los dos vectores. En tal caso se habla de la regla del paralelogramo para sumar dos vectores.

Fig. 1.7

En este capítulo, cuando se haga referencia específica a un vector, en función de su magnitud y dirección, se escribirá a = (|| a ||, θ...