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TRANSFORMACIONES LINEALES

Las transformaciones lineales se utilizan para comparar espacios vectoriales; estas funciones llamadas transformaciones lineales, ocurren con mucha frecuencia en elálgebra lineal y otras ramas de las matemáticas teniendo una gran variedad de aplicaciones.
En un espacio vectorial se definen dos operaciones: la adición y la multiplicación por un escalar. Lastransformaciones lineales entre espacios vectoriales conservan estas estructuras lineales según el criterio que se establece a continuación.
Sean V y W espacios vectoriales. Sean u y v vectores en U y seaun escalar. Una transformación es lineal si:


La primera condición implica que convierte la suma de los vectores en la suma de las imágenes de los vectores. La segunda condición implica queconvierte el múltiplo escalar de un vector en el múltiplo escalar de la imagen. De esta manera las operaciones de adición y multiplicación por un escalar se conservan bajo una transformación lineal.Se escribe para indicar que toma el espacio vectorial real V y lo lleva al espacio vectorial real W ; esto es, T es una función con V como su dominio y un subconjunto de W como su imagen.EJEMPLO.
Sea definida por por ejemplo
Entonces: +

Pero
Así
De igual manera
Donde T es una transformación lineal.
Sean V y W espacios vectoriales y defina porpara todo . Entonces . En este caso T se denomina la transformación cero.
Sea V un espacio vectorial y defina por para todo de donde se ve que I es una transformación lineal, la cualse llama transformación identidad u operador identidad.

PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES
Sea una transformación lineal. Entonces para todos los vectores en y todas las escalares:
i.
ii.
iii.
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base . Sean vectores en W . Suponga que son dos transformaciones lineales de V en W tales que para Entonces...