Vectores

Contenidos

TEMA 2

C´lculo vectorial a

Me
C´lculo vectorial a

nic cá

yt a

mo er

iná d

m

ica

.G. .I

1. Magnitudes escalares y vectoriales 2. Operaciones b´sicas con vectores a 3. Componentes de un vector 4. Producto de vectores

nic de un vector deslizante 5. Momentos ecá M
6. Derivaci´n e integraci´n de vectores o o
1 C´lculo vectorial a 2

yt a

mo eriná d

ica m

.G. .I

Tipos de magnitud

1. Magnitudes escalares y vectoriales

M
C´lculo vectorial a

áni ec

c

yt a

mo er

iná d

ica m

.G. .I

Magnitud escalar: es aquella que para ser definida s´lo o requiere un n´mero real y sus unidades u ☞ Ejemplos • la masa de un cuerpo • la longitud de un l´piz a Magnitud vectorial: requiere un segmento orientado, es decir ☞longitud (m´dulo), direcci´n y sentido o o ☞ o bien, dos o tres coordenadas ☞ Ejemplos • la velocidad en dos o tres dimensiones • la fuerza Magnitud tensorial: es una matriz con ciertas propiedades ☞ necesita 9 componentes ☞ Ejemplos • tensor de tensiones • momento de inercia

M

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c

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.G. .I

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C´lculo vectorial a

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Definiciones
Vector:es un segmento orientado a = OP = PO a = |a| = |OP|

a
O

P

M´dulo de un vector: es la longitud del segmento OP o

Clasificaci´n de vectores o ☞ Vectores libres • Son aquellos que se consideran iguales si tienen igual m´dulo, direcci´n y sentido, independientemente del o o punto de aplicaci´n o ☞ Vectores deslizantes • Para ser iguales tienen que actuar sobre la misma recta ☞ Vectores fijos• Para ser iguales tienen que tener el mismo punto de aplicaci´n (origen) o

Me

nic cá

yt a

mo er

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ica m

.G. .I yt a mo er iná d

2. Operaciones b´sicas con vectores a

ica m

.G. .I

Me
5 C´lculo vectorial a

nic cá

C´lculo vectorial a

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Suma y resta
Suma de vectores
C B O A A C =A+B B B

Multiplicaci´n por un escalar o
OB = OA + AB
C A

m iná☞ Propiedades de la suma: Asociativa dconmutativa oy rm Resta de vectores es sumar teopuesto el Ca A − B ⇒ A = B + C =y c ániA B ec M B
C =A−B −B A
C´lculo vectorial a

A A+B =B+A=C

.G. aB. I ic

C =A−B

.G. Multiplicaci´n por un escalar el producto de A por λ es un o a. I c vector con la misma direcci´n que A con m´dulo igual a o o mi |λ||A| y de igual sentido si λ es positivo iná= λA+ λB ☞ Verifica la propiedad distributiva λ(A + B) od m ter m´dulo 1 en la direcci´n y Vector unitario u es un vector con o ˆ o y sentido de otro vectora A ic ☞ Sea A conán = A si denotamos λ = 1/A, entonces |A| ec A u = λA = ˆ M A
7 C´lculo vectorial a 8

Vector opuesto Se dice que B es opuesto a A si A + B = 0 y se denota B = −A. Si A = OA entonces −A = AO

Espacio vectorial
Se denominaespacio vectorial E definido sobre un cuerpo k conmutativo a un conjunto de elementos denominados vectores dotado de una relaci´n de igualdad (equipolencia) tales que se o pueden definir las siguientes operaciones
Ley de composici´n interna (suma) respecto de la que E es un o grupo abeliano con propiedades ☞ ☞ ☞ ☞ asociativa A + (B + C) = (A + B) + C conmutativa A + B = B + A elemento neutro A + 0 =A elemento opuesto A − A = 0

Producto de escalares (λ, μ) por vectores (A, B) con propiedades ☞ λ(μA) = (λμ)A ☞ λ(A + B) = λA + λB ☞ (λ + μ)A = λA + μA ☞ 1A = A

Me

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.G. .I yt a mo er iná d

3. Componentes de un vector

ica m

.G. .I

Me
9 C´lculo vectorial a

nic cá

C´lculo vectorial a

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Coordenadas cartesianas
en dosdimensiones: A = Ax + Ay en tres dimensiones:

Operaciones en componentes

☞ ☞ ☞

ˆ ˆ k son vectores unitarios en las direcciones X, Y y Z i, j, ˆ Ax , Ay , Az son las componentes rectangulares de A ˆ i j A = Ax + Ay + Az = Axˆ + Ay ˆ + Az k = (Ax , Ay , Az )
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M

áni ec

c

yt a

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.G. .I

M´dulo en componentes o ☞ En dos dimensiones, por Pit´goras:...