vectores

5

VECTORES EN EL ESPACIO

Página 133
REFLEXIONA Y RESUELVE
Relaciones trigonométricas en el triángulo
■

Halla el área de este paralelogramo en función del ángulo a:

5 cm

Área = 8 · 5 sen a = 40 sen a cm2

a
8 cm

■

Halla el área de este triángulo en función del ángulo b:
Área triángulo = a b sen b
2

a
b
b

Diagonal de un ortoedro
■

Halla la diagonal de unortoedro cuyas dimensiones son c = 3 cm, b = 4 cm y
a = 12 cm.

c
c

b
b
a

Diagonal = √3 2 + 4 2 + 12 2 = √169 = 13 cm
■

Escribe la expresión general de la diagonal de un ortoedro de aristas a, b y c.
En general: Diagonal = √a 2 + b 2 + c 2

Unidad 5. Vectores en el espacio

1

Volumen de un paralelepípedo
■

Halla el volumen de este paralelepípedo en función de a y de b:Área base = 40 sen a °
¢
Altura = 10 cos b
£

10 cm

Volumen = 400 sen a cos b cm3
b
a

5 cm
8 cm

■

¿Cuál será el volumen de un paralelepípedo de
aristas a, b, c, tal que las dos aristas de la base
formen entre sí un ángulo a, y las aristas laterales formen un ángulo b con la perpendicular?
c

Volumen = a b c sen a cos b
b
a

b
a

Página 135
8

8

1. La propiedad a· (b · v ) = (a · b) · v relaciona el producto de números por vectores con el producto entre números.
a) De los cuatro productos que aparecen, ¿cuáles son del primer tipo y cuáles
del segundo?
8

v8

b) Interpreta dicha propiedad para a = 3, b = –2 y v un vector cualquiera representado sobre el papel.
a) Producto de números por vectores:
8

8

v8

8

v)8
–2
·(

8

2

–68

b) a · (b · v ) = 3 · (–2v ) °
8
8
8
8
¢ 3 · (–2v ) = –6v
(a · b) · v = –6v
£

v8

3

Producto entre números: a · b

–2

b · v ; (a · b) · v ; a · (b · v )

Unidad 5. Vectores en el espacio

UNIDAD
8

8

5

8

2. La propiedad distributiva (a + b) · v = a · v + b · v relaciona la suma de números
con la suma de vectores.
a) De las dos sumas que aparecen, ¿cuáles de cada tipo?
8

b) Interpreta dicha propiedad para a = 3, b = 5 y v un vector cualquiera representado sobre el papel.
a) Suma de números: a + b
8

8

8

v8

3v 8

b) (a + b) · v = 8v
° 8
8
8
8
8
8
8 ¢ 8v = 3v + 5v
av + bv = 3v + 5v £

5v 8

8

8v 8

Suma de vectores: av + bv

Página 137
8

8

1. Si u(–3, 5, 1), v(7, 4, –2), halla las coordenadas:
8

8a) 2 u

8

b) 0 v

8

c) – u

8

8

d) 2 u + v

8

e) u – v

8

8

f ) 5u – 3v

8

a) 2u = 2 · (–3, 5, 1) = (–6, 10, 2)
8

b) 0 · v = (0, 0, 0)
8

c) –u = –(–3, 5, 1) = (3, –5, –1)
8

8

d) 2u + v = 2(–3, 5, 1) + (7, 4, –2) = (1, 14, 0)
8

8

e) u – v = (–3, 5, 1) – (7, 4, –2) = (–10, 1, 3)
8

8

f) 5u – 3v = 5(–3, 5, 1) –3(7, 4, –2) = (–36, 13,11)
8

8

8

8

2. Sean los vectores x(1, –5, 2), y(3, 4, –1), z(6, 3, –5), w(24, –26, – 6). Halla a,
b, c para que se cumpla:
8

8

8

8

ax + by + cz = w

a (1, –5, 2) + b (3, 4, –1) + c (6, 3, –5) = (24, –26, –6)
(a + 3b + 6c, –5a + 4b + 3c, 2a – b – 5c) = (24, –26, –6)
a + 3b + 6c = 24
–5a + 4b + 3c = –26
2a – b – 5c = –6

°
§
¢
§
£

Unidad 5. Vectores en elespacio

|

|

1 3 6
–5 4 3 = –92
2 –1 –5

3

|
a=

|
c=

24 3 6
–26 4 3
–6 –1 –5
–92

|

1 3 24
–5 4 –26
2 –1 –6
–92

|

=

–552
= 6; b =
–92

=

|

1 24 6
–5 –26 3
2 –6 –5
–92

|

–368
=4
–92
8

184
= –2;
–92

=

8

8

8

Solución: a = 6, b = –2, c = 4, es decir, 6 x – 2 y + 4 z = w.

Página 139
1. Respecto de una baseortonormal, las coordenadas de tres vectores son
8
8
8
u(3, –1, 5), v(4, 7, 11), w(–2, k, 3).
8

8

a) Calcula u · v.
8

8

b) Halla k para que v y w sean perpendiculares.
8

8

a) u · v = (3, –1, 5) · (4, 7, 11) = 3 · 4 + (–1) · 7 + 5 · 11 = 12 – 7 + 55 = 60
8

8

8

8

b) Como v ? 0 y w ? 0, son perpendiculares si v · w = 0 8
8

8

8 v · w = 4 · (–2) + 7 · k + 11 · 3 =...