Vectores

Espacio Euclídeo I n R Enrique Vílchez Quesada Universidad Nacional Escuela de Matemática
Abstract Este trabajo consiste en una exposición de algunos elementos relacionados con la teoría de vectores, rectas y planos en el espacio euclídeo I n y de sus aplicaciones en geometría analítica. R

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Contents Conceptos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VectorGeométrico o Anclado . . . . . . . . . . . . . Vectores Paralelos, Producto Escalar y Módulo de un Ángulo Entre Dos Vectores y Proyección Ortogonal . Cosenos Directores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Producto Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Producto Mixto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aplicaciones a la Geometría Analítica . . . . . . . . Rectas y Planos . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Respuestas de los Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Conceptos Básicos

. . . . . . . . . . Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Definición 1. Se llama punto o vector n dimensional a una n tupla de la forma (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) con xj 2 I 8j; 1 j n, n 2 I . A los números reales xj se R; N les llama componentes o coordenadas del vector. El conjunto de puntos o vectores ndimensionales se denota como I n . A los R elementos de I se les llama escalares. R Ejemplo 1. La tripleta P (2; 3; 4) es un vector tridimensional, su representación geométrica se puede observar a continuación.

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Para dotar a I n de una estructura algebraica se enuncia la siguiente definición. R Definición 2. Sean v = (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) ; w = (y1 ; y2 ; : : : ; yn ) 2 I n entonces: R 1.Se dice que v es igual a w y se denota v = w sii xj = yj 8j; 1 2. Se define la suma de v y w, denotada v + w como el vector: v + w = (x1 + y1 ; x2 + y2 ; : : : ; xn + yn ) 3. Se define el producto de 2 I con v denotado v como el vector: R v = ( x1 ; x2 ; : : : ; xn ) se dice que esta operación es una ley de composición externa en I n . R Teorema 1. (I n ; +) es un grupo abeliano y 8 ; R 1. ( + )v = v + v 2. 3. (v + w) = v + w ( v) = ( )v 2 I v; w 2 I n : R; R j n:

Definición 3. Sean v = (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) ; w = (y1 ; y2 ; : : : ; yn ) 2 I n la diferencia R o resta de v con respecto a w, denotada v w, se define por: v donde al vector 1w se le denota w = v + ( 1w) w y se llama opuesto aditivo de w. 3w.

Ejemplo 2. Sean v = ( 3; 4; 1) ; w = (5; 3; 2). Halle 2v

Solución: 2v =( 6; 8; 2) ^ 3w = ( 15; 9; 6). Luego: 2v 3w = 2v + ( 1 (3w)) = 2v + ( 3w) = ( 21; 1; 4) Ejemplo 3. Determine los números ; ; (1; 2; 0) = (1; 0; 1) + que cumplan la siguiente igualdad: (0; 0; 1) + (0; 1; 0) + )

Solución: (1; 8 0) = (1; 0; 1) + (0; 0; 1) + (0; 1; 0) ) (1; 2; 0) = ( ; ; 2; < =1 =2 ) : + =0) = 1

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2.

Vector Geométrico o Anclado

Un vector geométrico o anclado es un parde vectores n dimensionales A; B ! que se denota por AB. Al vector A se le llama punto inicial u origen y a B punto ! final u extremo del vector geométrico. Se suele representar al vector anclado AB mediante una flecha que va de A a B, como se observa en la figura.

! La longitud de la flecha se llama módulo o norma del vector AB y se denota ! ! ! ! ! AB _ AB . Cuando en particular A = 0 elvector geométrico 0B se representa ! también por B . Un vector geométrico está caracterizado principalmente por su módulo y su ! ! sentido o dirección. Cuando dos vectores anclados AB y CD están contenidos en rectas paralelas, tienen la misma longitud y el mismo sentido se dice que son vectores equivalentes. Es observable, que los elementos de I I 2 y I 3 llamados repectivamente R, R R vectores...