Vectores

VALORES Y VECTORES CARACTERÍSTICOS
Sea W una transformación lineal. En diversas aplicaciones, resulta útil encontrar un vector v en V tal que Tv y v son paralelos. Es decir, se busca un vector v y una escalar λ tal que:
Tv = λv
Si v ≠ 0 y λ satisface a (1), entonces λ se denomina un valor característico de T y v un vector característico de T correspondiente al valor característico λ. Elpropósito de este trabajo es investigar las propiedades de los valores característicos y vectores característicos. Si V tiene dimensión finita, entonces T se puede representar por una matriz A. Por esta razón se estudiaran los valores y los vectores característicos de las matrices de n x n.
DEFINICION DE VALOR CARACTERÍSTICO Y VECTOR CARACTERÍSTICO
<br />Sea A una matriz de n x n con componentesreales. El número λ (real o complejo) se denomina valor característico de A si existe un vector diferente de cero v en Cn tal que<br />Av = λv (2)<br />El vector v ≠ 0 se denomina vector característico de A correspondiente al valor característico λ.<br />Nota: Los valores y vectores característicos también se denominan valores y vectores impropios o eigenvalores y eigenvectores;la palabra “eigen” es la palabra alemana para “propio”.<br />Ejemplo:<br />Valores característicos y vectores característicos de una matriz de 2 x 2.<br />Sea A = 10-186-11. Entonces A21 = 10-186-1121 = 21. Así, λ1 = 1 es un valor característico de A con el correspondiente vector característico v1 = 21. <br />De manera similar, A32 = 10-186-1132 = -6-4 = -232 de modo que λ2= -2 es un valor característico de A con el correspondiente vector característico v2 = 32. <br />Teorema 1<br />Sea a una matriz de n x n. Entonces λ es un valor característico de A si y solo si<br />p(λ) = det (A – λI) = 0(4)<br />
ECUACION Y POLINOMIOS CARACTERISTICOS
<br />La ecuación (4) se denomina la ecuación característica de A; p(λ) se denomina el polinomiocaracterístico de A.<br />Como será evidente en los ejemplos, p(λ) es un polinomio de grado n en λ. Por ejemplo, si <br />A = abcd, entonces A – λI = abcd - λ00λ = a- λ00d- λ y p(λ) = det (A – λI) = <br />(a – λ)(d - λ) – bc = λ2 – (a + d) λ + (ad – bc).<br />De acuardo con el teorema fundamental del algebra, cualquier polinomio de grado n con coeficientes reales ocomplejos tienen exactamente n raíces. Esto significa, por ejemplo, que el polinomio (λ – 1)5 tiene cinco raíces, todas iguales al numero 1. Como cualquier valor característico de A es una raíz de la ecuación característica de A, se concluye que <br />Contando multiplicidades, toda matriz de n x n<br />Tiene exactamente n valores característicos.<br />
CALCULO DE VALORES Y VECTORESCARACTERISTICOS
<br />Ejemplo<br />Sea A = 4233 . Entonces det (A – λI) = 4- λ233- λ = (a – λ)(3 – λ) – 6 = λ2 - 7λ + 6 =<br />(λ – 1)( λ – 6). Entonces los valores característicos de A son λ1 = 1 y λ2 = 6. <br />Para λ1 = 1 se resuelve (A – I)v = 0 o 3232x1x2 = 00. Es claro que cualquier vector característico correspondiente a λ1 = 1 satisface 3x1 + 2x2 = 0. Un vectorcaracterístico de este tipo es v1 = 2-3.<br />Así E1 = gen 2-3. <br />De manera similar, la ecuación (A – 6 I)v =0 significa que -223-3x1x2 = 00 o x1 = x2. <br />Entonces v2 = 11 es un vector característico correspondiente a λ2 = 6 y E6 = gen 11.<br />Observe que v1 y v2 son linealmente independientes ya que uno no es múltiplo del otro.<br />
MATRICES SEMEJANTES YDIAGONALIZACION
<br />Definición de matrices semejantes<br />Se dice que dos matrices A y B de n x n son semejantes si existe una matriz invertible C de n x n tal que <br />B = C-1 AC (1)<br />La función definida pro (1) que lleva la matriz A en la matriz B se denomina transformación de semejanza. Se puede escribir esta transformación lineal como<br />T(A) = C-1 AC<br...