vectores

República Bolivariana De Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
U. E. C. P “Sagrada Familia”
Los Teques – Edo. Miranda















Trigonometría y Vectores












Los Teques, Julio 2013
Trigonometría
Teorema del Seno
En trigonometría, el teorema del seno es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados deun triángulo y los senos de los ángulos respectivamente opuestos.
Usualmente se presenta de la siguiente forma:
Teorema del seno
Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los ángulos A, B y C son respectivamente a, b, c, entonces:

Ejemplo:
A pesar de ser de los teoremas trigonométricos más usados y de tener una demostración particularmente simple, es poco común que se presente odiscuta la misma en cursos de trigonometría, de modo que es poco conocida (aunque muy elegante).

Dado el triángulo ABC, denotamos por O su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento BO hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro BP.
Ahora, el triángulo PBC es recto, puesto que BP es un diámetro, y además los ángulos A y P son iguales, porque ambosson ángulos inscritos que abren el segmento BC (Véase definición de arco capaz). Por definición de la función trigonométrica seno, se tiene


Donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:



Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que pase por C, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor 2R y por tanto son iguales.
La conclusiónque se obtiene suele llamarse teorema de los senos generalizado y establece:
Para un triángulo ABC donde a, b, c son los lados opuestos a los ángulos A, B, C respectivamente, si R denota el radio de la circunferencia circunscrita, entonces:

Puede enunciarse el teorema de una forma alternativa:
En un triángulo, el cociente entre cada lado y el seno de su ángulo opuesto es constante e igual aldiámetro de la circunferencia circunscrita.

Utilidad:
El teorema del seno es utilizado para resolver problemas en los que se conocen dos ángulos del triángulo y un lado opuesto a uno de ellos. También se usa cuando conocemos dos lados del triángulo y un ángulo opuesto a uno de ellos.

Relación con el área de un triangulo
Para un triángulo ABC, el área se calcula como ah/2 donde h es lamedida de la altura sobre la base a. Nuevamente, por definición de seno, se tiene sen C = h/b o lo que es lo mismo h = b sen C, de modo que se cumple:
.
Sin embargo, el teorema de los senos implica que c = 2R sen C, por lo que al substituir en la expresión anterior se obtiene un nuevo teorema:
.




Teorema del Coseno

El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras enlos triángulos rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.
El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados:
Teorema del coseno
Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces:

Ejemplo:
Siendo ABC el triángulo, cuyo ánguloobtuso está en C, y BH la altura respecto del vértice B , la notación moderna permite formular el enunciado así:


Utilidad:
El teorema del coseno es también conocido por el nombre de teorema de Pitágoras generalizado, ya que el teorema de Pitágoras es un caso particular: cuando el ángulo  es recto o, dicho de otro modo, cuando, el teorema del coseno se reduce a:

Que es precisamente laformulación del teorema de Pitágoras.
El teorema se utiliza en triangulación  para resolver un triángulo, y saber determinar
el tercer lado de un triángulo cuando conocemos un ángulo y los lados adyacentes:
.
los ángulos de un triángulo cuando conocemos los tres lados:
.

Estas fórmulas son difíciles de aplicar en el caso de mediciones de triángulos muy agudos utilizando métodos simples, es...