vectores

Universidad Surcolombiana
FISICA MECANICA

Clotario Israel Peralta García
Unidad 3 – Algebra de Vectores

UNIDAD 3
Algebra de Vectores

3.1 Algebra de Vectores
Los vectores son instrumentos matemáticos ideales para la exposición y simplificación de diversas ideas
importantes de la Física.
Recordemos que cuando un vector se encuentra en el plano x-y, figura 3.1, se puede expresartambién,
mediante notación vectorial así:

r
ˆ
A = A1i + A2 ˆ
j

y

A

x

A
Figura 3.1 Componentes rectangulares de un vector en el plano.

r
La magnitud o módulo del vector A se puede calcular por medio de:

A = A1 + A2
2

2

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Clotario Israel Peralta García
Unidad 3 – Algebra de Vectores

r
La dirección del vector A se calculacon la ayuda de:

θ = tan −1

Ay
Ax

Si el vector está en el espacio de tres dimensiones x-y-z, figura 3.2, se podrá definir la suma mediante la
siguiente notación vectorial:

r
ˆ
ˆ
A = A1i + A2 ˆ + A3 k
j

3.1

La magnitud o módulo del vector, también se llama norma del vector y se calcula mediante la siguiente
expresión:

A = A1 + A2 + A3
2

2

2

3.2

La direccióndel vector esta asociada con el ángulo que formado con cada uno de los ejes de coordenadas
x, y, z. Estos ángulos reciben el nombre de cosenos directores o cosenos direccionales, los cuales se
pueden calcular utilizando las siguientes expresiones:

y

A

A

A

z

x

Figura 3.2 Componentes rectangulares de un vector en tres dimensiones.

α = cos −1

A1
A

Donde α es el ánguloque forma el vector con el eje x.

β = cos −1

A2
A

Donde β es el ángulo que forma el vector con el eje y.

γ = cos −1

A3
A

Donde γ es el ángulo que forma el vector con el eje z.

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Unidad 3 – Algebra de Vectores

EJEMPLO 3.1
Sea el vector definido por:

r
ˆ
ˆ
A = 3i − 4 ˆ + 2k
jCalcular: a) la norma del vector, b) los cosenos directores.

Solución
La norma o módulo, será:

A = 32 + (−4) 2 + 2 2 = 29 = 5.38
Cálculo de los cosenos directores:
Angulo eje x

α = cos −1

A1
3
= cos −
= 56º
A
5.38

Angulo eje y

β = cos −1

A2
−4
= cos −1
= 138º
A
5.38

Angulo eje z

γ = cos −1

A3
2
= cos −1
= 68º
A
5.8

EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Sean losvectores:

r
ˆ
ˆ
A = 4i + 2 ˆ − 8k
j
r
ˆ
B = −6iˆ + 3 ˆ + 2k
j
r
ˆ
ˆ
C = 5i − 2 ˆ + 5k
j
Calcular: a) La norma de cada uno de los vectores, b) Los cosenos directores.
2. Un avión despega y viaja 10.4 km al Oeste, 8.7 km al Norte y 2.1 km hacia arriba. ¿A qué distancia está
de su punto de parida?

3.1.1 Suma y resta de vectores por componentes
Consideremos dos vectores
se puedendefinir como:

r r
A y B que se encuentran en un sistema de coordenadas x-y-z. Estos vectores

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Unidad 3 – Algebra de Vectores

r
ˆ
ˆ
A = A1i + A2 ˆ + A3 k
j
r
ˆ
ˆ
B = B1i + B2 ˆ + B3 k
j
La suma de los vectores, se define como sigue:

r r
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
A + B = ( A1i + A2 ˆ + A3 k ) + ( B1i + B2ˆ + B3 k )
j
j
Sumando los términos semejantes, se obtiene:

r r
ˆ
ˆ
A + B = ( Ax + Bx )i + ( Ay + B y ) ˆ + ( Az + Bz )k
j
Para la resta, se resta algebraicamente las cantidades de los paréntesis. Una fórmula general, sería la
siguiente:

r r
ˆ
ˆ
A ± B = ( Ax ± Bx )i ± ( Ay ± B y ) ˆ ± ( Az ± Bz )k
j

3.3

EJEMPLO 3.2
Sean los vectores definidos por:

r
ˆ
ˆ
A = 5i + 6 ˆ− 4k
j
r
ˆ
ˆ
B = −2i − 4 ˆ + 5k
j
r

r

Calcular: a) la suma de A + B , b) la norma del vector resultante

Solución
a) La suma se realiza de la siguiente manera:

r r
ˆ
ˆ
A + B = (5 − 2)i + (6 − 4) ˆ + (−4 + 5)k
j
r r
ˆ
A + B = 3i + 2 ˆ + k
j ˆ
Observe que el resultado es otro vector, que se puede denominar el vector
b) La norma del vector resultante

r
R será:...