vectores

Benjamín Garza Olvera.

VECTORES
Un vector fijo es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo).


ELEMENTOS DE UN VECTOR
1. Dirección de un vector: La dirección del vector es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella.
2. Sentido de un vector: El sentido del vector es el que va desde el origen A al extremo B.
3.Módulo de un vector:

El módulo del vector es la longitud del segmento AB, se representa por .
El módulo de un vector es un número siempre positivo o cero.


3.1. Módulo de un vector a partir de sus componentes:






3.2. Módulo a partir de las coordenadas de los puntos:
A(X1, Y1) B(X2, Y2)




4. Coordenadas de un vector:

Si las coordenadas de los puntosextremos, A y B, son:
A(X1, Y1) B(X2, Y2)





Las coordenadas del vector son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.









Para sumar dos vectores libres y se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo de uno coincida con el origen del otro vector.

REGLA DELPARALELOGRAMO
Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.
Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.




RESTA DE VECTORES
Para restar dos vectores libres y se suma con el opuesto de .
Las componentes del vector resta se obtienenrestando las componentes de los vectores.





Ejemplo:






PRODUCTO DE VECTORES
El producto de un número k por un vector es otro vector:
1 De igual dirección que el vector .
2 Del mismo sentido que el vector si k es positivo.
3 De sentido contrario del vector si k es negativo.
4 De módulo
Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes delvector.



Ejemplo:





VECTORES LINEALMENTE DEPENDIENTES
Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.


Propiedades
1 Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar comocombinación lineal de los demás.




También se cumple el reciproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes.
2 Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos.
3 Dos vectores libres del plano = (u1, u2) y = (v1, v2) son linealmente dependientes si sus componentes son proporcionales.VECTORES LINEALMENTE INDEPENDIENTES
Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.


a1 = a2 = ··· = an = 0

Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales.

PRODUCTO ESCALAR
El producto escalar de dos vectores es un número real que resultaal multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.



Interpretación geométrica del producto escalar
El producto de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.







Propiedades del producto escalar
1 Conmutativa

2 Asociativa

3 Distributiva

4 El producto escalar de un vector no nulo por símismo siempre es positivo.


ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA
Definimos una recta r como el conjunto de los puntos del plano, alineados con un punto P y con una dirección dada .

Si P(x1, y1) es un punto de la recta r, el vector tiene igual dirección que , luego es igual a multiplicado por un escalar:





Ejemplo: Una recta pasa por el punto A (-1, 3) y tiene un vector director = (2,5)....