vectores

Vectores en el plano



Un vector, , es un segmento con una dirección que va del punto A (origen) al punto B (extremo).
Un vector es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo).
Todo vector se compone de un módulo, una dirección y un sentido.
Dirección de un vector
Es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella.
Sentidode un vector
El sentido del vector  es que va del origen A al extremo B.
Módulo de un vector





 
El módulo del vector  longitud del segmento AB, se representa por .
El módulo de un vector es un número siempre positivo o cero.


Módulo a partir de las coordenadas de los puntos


Ejercicios
Calcular el módulo del vector:



Calcula el valor de k sabiendo que el módulo delvector = (k, 3) es 5.

Vectores y coordenadas


Coordenadas de un vector

Si las coordenadas de los puntos extremos, A y B, son:

Las coordenadas del vector  son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

Ejemplos
Calcular las coordenadas de un vector cuyos extremos son:


Un vector  tienen de coordenadas (5, −2). Hallar las coordenadas de A si se conoce el extremoB(12, −3).



Punto medio de un segmento
 


Ejemplo
Calcular las coordenadas del punto medio del segmento AB.





Tres puntos alineados

Los puntos A (x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3) están alineados siempre que los vectores  tengan la misma dirección. Es decir si sus coordenadas son proporcionales.

Ejemplo
Hallar el valor de a para que los puntos estén alineados.Simétrico de un punto


Si A' es el simétrico de A respecto de M, entonces M es el punto medio del segmento AA'.

Calcular el simétrico del punto A(7, 4) respecto de M(3, −11).
Ejemplo




Baricentro

Las coordenadas del baricentro son:

 
Ejemplo
Dados los vértices de un triángulo A(-3, -2), B(7, 1) y C(2, 7), calcular las coordenadas del baricentro.



División de un segmentoDividir un segmento AB en una relación dada r es determinar un punto P de la recta que contiene al segmento AB, de modo que las dos partes, PA y PB, están en una relación r:



Ejemplo
Calcular los puntos P y Q que dividen al segmento de extremos A(-1, -3) y B(5, 6) en tres partes iguales?




Ejercicios
1. Dados los vértices de un triángulo A(1, 2), B(-3, 4) y C(-1, 3), hallarlas coordenadas del baricentro.


2. Hallar las coordenadas del punto C, sabiendo que B(2, −2) es el punto medio de AC, A(−3, 1).


3. Averiguar si están alineados los puntos: A (- 2, - 3), B(1, 0) y C(6, 5).


4. Las coordenadas de los extremos del segmento AB son: A (2, - 1) y B(8, - 4). Hallar las coordenadas del punto C que divideal segmento AB en dos partes tales que AC es la mitad de CB.5. Si el segmento AB de extremos A(1,3), B(7, 5), se divide en cuatro partes iguales, ¿cuáles son las coordenadas de lospuntos de división?



6. Hallar el simétrico del punto A(4, -2) respecto de M(2, 6).




7. Dados dos vértices de un triángulo A(2, 1), B(1, 0) y el baricentro G(2/3, 0), calcular el tercer vértice.


8. Dados los puntos A (3, 2) y B(5, 4) halla un puntoC, alineado con A y B, de manera que se obtenga 




Tipos de vectores
Vectores equipolentes


Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido.
 


Vectores libres

 
El conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llama vector libre. Es decir los vectores libres tienen el mismo módulo, dirección y sentido.


Vectores fijos

 
Un vectorfijo es un representante del vector libre. Es decir, los vectores fijos tienen el mismo módulo, dirección, sentido y origen.


Vectores ligados

 
Los vectores ligados son vectores equipolentes que actúan en la misma recta. Es decir, los vectores fijos tienen el mismo módulo, dirección, sentido y se encuentran en la mismarecta.



Vectores opuestos

 
Los vectores opuestos tienen el...