Vectores

PRODUCTO CRUZ, RECTAS Y PLANO EN EL ESPACIO.

FAINNER LEONARDO MONSALVE HERNANDEZ

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER- SOCORRO
ALGEBRA LINEAL
3 DE OCTUBRE DEL 2012

PRODUCTO CRUZ
NOTA: Elproducto cruz es exclusive de los vectores en R3

Def. (2.13) :

Sean V=(a1 b1 c1) y W=(a2 b2 c2) dos vectores no nulos. El producto cruz VxW, se define como:

VxW= (b1 c2 –b2 c1 ,a2 c1 –a1 c2,a1 b2-a2 b1)

VxW= (b1 c2 –b2 c1) I+ (a2 c1 –a1 c2) J+ (a1 b2-a2 b1) K

* OBSERVACIONES:

1. VxW es perpendicular tanto a V como a W.
2. El producto cruz no es conmutativo, pero si:VxW=-(WxV).
3. La dirección de VxW esta dada por la regla de la mano derecha:

4. Podemos utilizar el método para hallar VxW usando el determinante.

Sean V= (a1 b1 c1) y W= (a2 b2 c2)VxW=
I J K
a1 b1 c1
a2 b2 c2

VxW= I (b1 c2 –b2 c1) - J (a1 c2 -a2 c1) + (a1 b2-a2 b1) K

Teorema (2.5)

Sean V, W dos vectores no nulos de R3 y sea β €R. Entonces se cumplen las siguientes propiedades:
V.(VxW)=0
W.(VxW)=0
identidad de lagrange: II VxWII2 =IIVII2 IIWII2 -(V.W )2
VxW= -(WxV)
Ux(VxW)= UxV+UxW
(V+W)xU=VxU+WxU
β(VxW)= (β V) xWVx0 = 0
VxV= 0

* OBSERVACIONES:

1. Sean V y W vectores paralelos. Entonces: W= kV.
Luego: VxW=Vx( KV)
K(VxV)
k.0Por tanto, V//W VxW= 0.

2. Sean V y W vectores no nulos y sea Ѳ € [ 0,π] el ángulo entre V y W, entonces :
V.W=IIVII IIWII Cos Ѳ

Por la propiedad tres:

II VxWII2 =IIVII2IIWII2 - IIVII2 IIWII2 Cos2 Ѳ
II VxWII2 =IIVII2 IIWII2 - IIVII2 IIWII2 (1 - Cos2 Ѳ)

De donde: II VxWII =IIVII IIWII - IIVII IIWII Sen Ѳ; Ѳ € [0, π].

3. Sean V y W vectores no nulos.Hallar una formula para el área del paralelogramo determinado por V y W.
Ѳ

IIWII
IIVII
h

A(P)= b.h

* Sea Ѳ en ángulo entre V y W, entonces por trigonometría:

h__...