Vectores

0 Ordres de magnitud. An`lisi dimensional. Vectors a

1

0
0.1

Ordres de magnitud. An`lisi dimensional. Vectors a
Nombres grans i petits
1

Per tractar amb nombres molt grans o molt petits, la notaci´ cient´ o ıfica ´s sovint m´s clara i senzilla que la normal. e e Recordem que 10n representa un 1 seguit de n zeros. Aix´ 105 ´s 100000 i 1012 un bili´. 10−n vol dir 1 dividit per ı, e oı e 10n , aix´ per exemple, 10−3 ´s 1 dividit entre 1000, ´s a dir, 0.001, una mil.l`sima. e e ´ Es clar que perqu` aquesta notaci´ sigui realment util, cal tenir presents alguns exemples que ens permetin d’establir e o ´ comparacions r`pidament. Xifres com deu mil, un mili´ o un bili´ 2 s´n relativament freq¨ents. Saber, per exemple, a o o o u que un mili´ de segons nom´s equival a uns onze dies imig, mentre que perqu` passin mil milions de segons cal esperar o e e uns 32 anys, ens permet de formar-nos una idea m´s clara de la magnitud relativa d’aquests nombres. Cal habituare se al fet que els nombres de cinc o sis xifres s´n quantitats grans i que els de tres representen valors intu¨ o ıtivament comprensibles. Amb tres zeros en tenim prou per comptar el nombre d’estudiants d’un centreuniversitari; quatre zeros ens donen idea de la poblaci´ de Vilanova i la Geltr´; necessitem sis zeros per representar el nombre d’habitants o u d’una gran ciutat. Per fer-se una idea de la magnitud dels nombres grans ´s util construir-se una petita col.lecci´ d’exemples com l’anterior e ´ o per cada pot`ncia de 10. I com m´s personal sigui, millor. Tamb´ resulta util practicar fent estimacions dequalsevol e e e ´ quantitat. Quantes paraules hem pronunciat al llarg de la nostra vida? Quantes gotes d’aigua caben a la banyera de casa nostra? Quantes voltes donen les rodes d’un cotxe en el trajecte Barcelona-Tarragona? Quant es desgasten els pneum`tics de les rodes en aquest trajecte? Quants arbres cal talar per produir l’edici´ dominical d’un diari com El a o Pa´ ıs? Per respondre q¨estionscom aquestes n’hi ha prou de calcular, encara que sigui d’una forma aproximada (per` fent u o ´ ı, hip`tesis raonables), el valor de la pot`ncia de 10 corresponent. Es a dir, l’ordre de magnitud. Aix´ direm que l’ordre o e de magnitud del nombre de gotes d’aigua d’una banyera plena ´s de 106 : e mida gota 0.5 cm ⇒ volum gota = 4/3πr3 = 0.52 cm3 cub d’1 m d’aresta ⇒ volum banyera 1 cm3 1 m3

midabanyera

Per tant el nombre de gotes ´s igual a 1 m3 /1 cm3 = 106 . Una regla que cal tenir present: una estimaci´ acceptable e o hauria de trobar-se dins d’un marge del 10% de la resposta correcta. Amb un o dos ordres de magnitud per sobre o per sota del valor real podem donar-nos per satisfets.

8 L’ordinador m´s potent que es pot concebre no podr` ser m´s gran que l’univers conegut, nopodr` estar e a e a
format per components m´s petits que un prot´ i no podr` transmetre informaci´ m´s r`pidament que la llum. e o a o e a Amb aquestes limitacions, de quants components elementals estar` format aquest super-computador? a Soluci´: ∼ 10123 components. o

ısica i Ci`ncia e En aquest cap´ ıtol, tot el que fa refer`ncia a ordres de magnitud i an`lisi dimensional est` extret del llibreF´ e a a Ficci´ dels autors Jordi Jos´ i Manuel Moreno d’edicions UPC o e 2 Un bili´ americ` ´s 109 . La difer`ncia amb el bili´ (1012 ) constitueix una font d’errades en les traduccions de texts. Un o ae e o error com´ ´s el de sobreestimar l’edat de l’univers (15 bilions en comptes dels 15000 milions d’anys). ue

1

2

Apunts de F´ ısica

8 Quant de temps es trigaria a fer desapar`ixeruna muntanya com l’Everest transportant-la en camions? Suposeu e
que cada 15 minuts arriba un cami´, ´s carregat instant`niament i se’n va sense interrompre el seg¨ent. o e a u Soluci´: ∼ 104 anys. o

Es poden establir comparacions aproximades. Suposant que un ´sser hum` t´ una forma esf`rica de di`metre e a e e a • la mida d’un virus ´s a una persona com la d’aquesta ´s a la de la Terra e e...