vectores

Vectores y espacios vectorial es
3.1 vectores en el plano y en el espacio.
VECTORES
EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO
 
Aunque en el tema 8º nos referimos brevemente a los vectores, en el tema actual vamos a profundizar en los mismos.

Vector:
Llamamos vector a un segmento (parte de una recta) que está orientado.
Los vectores representados a continuación ves que son flechas que nos indican ladirección y el sentido.
Utilizamos papel cuadriculado porque nos facilita el trabajo.


Es suficiente anotar las coordenadas de comienzo y fin de cada
vector.
En todo vector hay tener en cuenta:
 
1) El módulo, tamaño o longitud.
2) Orientación
3) Sentido
Los cuatro vectores que tienes en la figura son diferentes en cuanto a módulo (miden diferente) y tienen direcciones distintas.
Asimple vista quizá te parezcan que los vectores a y d tienen la misma dirección y sentidos opuestos, pero si les aproximas, notarás que no tienen la misma dirección:


21.1 ¿Cuánto vale el módulo del vector a?
 
Respuesta: módulo = 5,83
Solución
El inicio del vector es como si se hallara en el origen de coordenadas, el punto (0,0).
Una de las ventajas de utilizar papel cuadriculado es la deque podemos evitar estar trazando el eje de coordenadas.
Si te fijas en el vector a su final se halla en el punto (x =3, y=5).
Si al vector le consideras la hipotenusa de un triángulo rectángulo, los catetos x eje de abscisas e y eje de ordenadas valen 3 y 5 respectivamente.
El módulo será =  
 
21.2 ¿Cuánto vale el módulo del vector b?
 
Respuesta: módulo = 7,2
Solución
El extremo finaldel vector se encuentra en el punto (–6,4). Debes tener en cuenta que el inicio del vector se halla en el (0,0) del eje de coordenadas.
 
El vector hace de hipotenusa de los catetos –6 y 4. El módulo es el valor de la hipotenusa que será:
 

 
21.3 ¿Cuánto vale el módulo del vector c?
 
Respuesta: módulo = 3,6
 
21.4 ¿Cuánto vale el módulo del vector d?
 
Respuesta: módulo = 6,4
Enlo sucesivo no escribiremos los valores de inicio y final de vector.
 

3.1.1 Descripción geométrica de un vector.
DESCRIPCION GEOMETRICA DE LA SUMA Y LA RESTA DE VECTORES.
para vectores posición la suma u+v es el vector representado por la diagonal principal del paralelogramo cuyos lados están conformados por los vectores u y v. La resta u-v o v-u es el vector representado por la otradiagonal (al hacer v-u el punto final del vector es v y el inicial es u, por eso la flecha, si fuera u-v el punto final sería el de u y el vector tendría la dirección opuesta).



3.2 el producto escalar y las proyecciones en el plano.
Producto escalar
El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.Ejemplo:



1 Expresión analítica del producto escalar

Ejemplo:


2 Expresión analítica del módulo de un vector


Ejemplo:


3 Expresión analítica del ángulo de dos vectores

Ejemplo:



4 Condición analítica de la ortogonalidad de dos vectores

Ejemplo:



Interpretacion geométrica del producto escalar
El producto de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno deellos por la proyección del otro sobre él.
 


Ejemplo:
Hallar la proyección del vector  = (2, 1) sobre el vector  = (−3, 4).




3.1.2 definición algebraica de un vector
Vector.
En Física, un vector (también llamado vector euclidiano o vector geométrico) es una herramienta geométrica utilizada para representar unamagnitud física definida por su módulo (o longitud), su dirección(u orientación) y su sentido (que distingue el origen del extremo).1 2 3 Los vectores en un espacio euclídeo se pueden representar geométricamente como segmentos de recta dirigidos («flechas») en el plano  o en el espacio .
En Matemáticas se define un vector como un elemento de un espacio vectorial, esta noción es más abstracta y para muchos espacios vectoriales no es posible representar sus vectores...