Vectores

´
Algebra Vectorial

Principios de Mec´nica. Licenciatura de F´
a
ısica. Curso 2007-2008.

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Indice.

1. Magnitudes Escalares y Vectoriales.
2. Vectores.
3. Suma de Vectores. Producto de un vector por un escalar.
4. Espacio vectorial.
5. Producto Escalar.
6. Componentes de un vector.
7. Producto Vectorial.
8. Representaci´n vectorial de una superficie.
o
9. Rotaciones.Principios de Mec´nica. Licenciatura de F´
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Magnitudes Escalares y Vectoriales.
♠ Las magnitudes f´
ısicas que se representan mediante el valor de una unica cantidad se denominan
´
escalares. Ejemplo: volumen, densidad, temperatura.
♠ No todas las magnitudes f´
ısicas son de tipo escalar. Para otras, es necesario especificar tambi´n
e
la direcci´n. Ejemplo:el desplazamiento; necesitamos especificar el camino recorrido y la direcci´n
o
o
en que lo hemos hecho.
♠ El ´lgebra de las magnitudes escalares y vectoriales es muy diferente. Si sumamos dos volumenes
a
iguales, obtenemos el doble del volumen inicial. Si nos movemos 50m direcci´n N y luego otros
o
50m direcci´n S, volvemos al punto inicial.
o

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Vectores. Campos vectoriales.
♠ Un vector es una magnitud caracterizada por su m´dulo, direcci´n y sentido. Se representa por
o
o
v . Un vector de m´dulo unidad se representa por v . Gr´ficamente, un vector se representa por
o
ˆ
a
una flecha que indica la direcci´n y sentido y cuya longitud es proporcional al m´dulo del vector.
o
o
Ejemplo: velocidad.v

FG

Un campo vectorial es toda aplicaci´n que a cada punto del espacio le hace
o
corresponder un vector. Ejemplo: la fuerza de atracci´n gravitatoria que genera
o
la tierra en cualquier punto del espacio.
Los vectores que se aplican sobre un punto, o tienen un origen fijo, se denominan
vectores fijos; cuando todos los vectores con el mismo m´dulo, direcci´n y
o
o
sentido sonequivalentes, se denominan vectores libres. Vectores fijos y libres
tienen el mismo ´lgebra, pero los vectores fijos s´lo se pueden sumar si tienen el
a
o
mismo origen o punto de aplicaci´n. Un vector libre es la clase de equivalencia
o
de los vectores fijos.

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Suma de Vectores. Producto de un vector por un escalar.
ca

b
a+b=c

c
b

a

a+b=c

• Los vectores se suman siguiendo la regla del paralelogramo. Para sumar vectores fijos, tienen
que ser concurrentes en un punto o tener el mismo origen; para sumar dos vectores libres, basta
escoger dos representantes con origen en el mismo punto.
• La resultante de multiplicar un vector de modulo v por un escalar λ es un vector de m´dulo λv
o
perocon la misma direcci´n, sentido y punto de aplicaci´n que el vector original.
o
o

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Por el teorema de Pit´goras
a

c

a
α

β

θ

b

c2 = (b + a cos θ)2 + (a sin θ)2 = a2 + b2 + 2ab cos θ
denominado teorema del coseno, que nos da el modulo del
vector suma.

Por otro lado, se cumplen las siguientesrelaciones:

c sin α = a sin θ;

b sin α = a sin β

⇒

c
b
a
=
=
sin θ
sin β
sin α

denominado teorema del seno.
Con estos dos teoremas podemos calcular el m´dulo y direcci´n de c = a + b.
o
o

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Espacio vectorial.
El ´lgebra vectorial verifica las siguientes propiedades:
a
1. Asociativa: a + (b +c) = (a + b) + c = a + b + c.
2. Conmutativa: a + b = b + a.
3. Existe un elemento neutro cuyo m´dulo es cero: a + 0 = a
o
4. Existe un elemento inverso que es el mismo vector con sentido opuesto.
5. Distributiva. Si λ, ν son n´meros reales: λ(a + b) = λa + λb; (λ + µ)a = λa + µa
u

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Producto Escalar.
• El...