VECTORES

Vectores

Javier Junquera

Cómo describir la posición de un punto en el espacio:
Sistemas de coordenadas
Un sistema de coordenadas que permita especificar posiciones consta de:

Un punto de referencia fijo, O, denominado origen

Un conjunto de direcciones o ejes especificados, con
una escala y unas etiquetas apropiadas sobre sus ejes

Instrucciones que indican como etiquetar un punto en elespacio
con respecto del origen y de los ejes.

Sistema de coordenadas cartesiano (u ortogonal)
Ejemplo en dos dimensiones:

Un punto arbitrario se define mediante las coordenadas (x,y)
x positivas hacia la derecha

y positivas hacia arriba

x negativas hacia la izquierda

y negativas hacia abajo

Sistema de coordenadas polar
Ejemplo en dos dimensiones:

Un punto arbitrario se define mediante lascoordenadas polares planas (r, θ)
r es la longitud de la línea que
une el origen con el punto

θ es el ángulo entre dicha línea
y un eje fijo (normalmente el x)

Relación entre sistema de coordenas cartesianas y
sistema de coordenadas polar
Ejemplo en dos dimensiones:

asumiendo que θ está medida en
sentido contrario de las agujas del
reloj con respecto al eje x positivo
De polares a cartesianas

Decartesianas a polares,

Dos tipos de magnitudes físicas importantes:
escalares y vectoriales
Magnitud escalar:
aquella que queda completamente especificada mediante un número, con la unidad apropiada
Número de patatas en un saco
Temperatura en un determinado punto del espacio
Volumen de un objeto
Masa y densidad de un objeto
…

Magnitud vectorial:
aquella que debe ser especificada mediante sumódulo, dirección y sentido
Posición de una partícula
Desplazamiento de un partícula (definido como la variación de la posición)
Fuerza aplicada sobre un objeto
…

Representación tipográfica de un vector
Convenciones para representar una magnitud vectorial en un texto
Letras en negrita:

a

Flecha encima del símbolo:
Convenciones para representar el módulo de una magnitud vectorial en un textoLetras en formato normal:

a

Dos barras rodeando a la magnitud vectorial:
El módulo de un vector siempre es positivo, y especifica las
unidades de la magnitud que el vector representa
(Cuántos metros me he desplazado)

Base cartesiana para la representación de vectores en 3D.
En Física a un vector de módulo uno se le denomina versor
Base ortonormal en el espacio 3D:
Tres vectores de módulo unidadque, además son perpendiculares entre sí.

La base formada por los vectores
se le denomina base canónica.
Es la más utilizada usualmente, pero no la única

Componentes cartesianas de un vector
Proyecciones de un vector sobre los ejes de un sistema de coordenadas cartesiano

: componentes cartesianas de un vector

Cosenos directores
En una base ortonormal, se llaman cosenos directores del vector alos cosenos
de los ángulos que forma el vector con los vectores de la base

Álgebra vectorial
Adición de dos vectores
Vector

Componentes en un
sistema de coordenadas particular

La suma de dos vectores es otro vector

Cuyas componentes en un sistema de coordenadas particular vienen dadas por la
suma de las componentes de los dos vectores en el mismo sistema de coordenadas

Álgebra vectorialAdición de dos vectores
Propiedades de la adición de dos vectores

Propiedad conmutativa

Propiedad asociativa

Las dos se siguen inmediatamente a partir de sus componentes
Podemos sumar los vectores en cualquier orden

Significado geométrico de la
suma de vectores
Supongamos que

y

pueden representarse como segmentos en el papel,
¿Qué sería
?

Se disponen gráficamente un vector a continuación delotro, es decir, el
origen de coincide con el extremo de

El vector suma tiene como origen en el origen de

y como extremo el extremo de

Los vectores se pueden sumar de esta forma sin hacer referencia a los ejes de coordenadas

Álgebra vectorial
Multiplicación de un vector por un escalar
Vector

Componentes en un
sistema de coordenadas particular

El resultado de multiplicar un vector por un...