vectores

Listado 3, Vectores
5 de abril de 2015

1.

Ejercicios Resueltos

1. Las coordenadas cartesianas de un punto en el plano xy son (x, y) = (−3,50, −2,50)m como se muestra
en la figura 1. Encuentre las coordenadas polares de este punto.
Soluci´
on
La figura 1 nos ayuda a contextualizar el problema.

Figura 1: Encontrando las coordenadas polares cuando el sistema coordenado cartesiano es dados.Sabemos de las coordenadas polares que
x = r cos(θ)

(1)

y = r sen(θ)

(2)

De las ecuacciones (1) y (2) encontramos que
y
x
x2 + y 2

(3)

tan(θ) =
r=

(4)

Entonces
r=

(−3,5m)2 + (−2,5m)2 =

12,25m2 + 6,25m2 =

18,5m2 = 4,3m

y
−2,5m
arctan tan(θ) = θ = arctan( ) = arctan
= arctan 0,714 = 35,5
x
−3,5m
Pero como las coordenadas en el plano cartesiano se encuentran en el tercer cuadrante, entonces
θ= 35,5◦ + 180◦ = 215,5◦
As´ı, las coordenadas polares para el punto (x, y) = (−3,50, −2,50)m son (r, θ) = (4,3m, 215,5◦ )

1

2. Un auto viaja 20km hacia el norte luego 35km en la direcci´on 60◦ al oeste del norte como lo mostrado
en la figura 2. Encuentre la magnitud y la direcci´on del desplazamiento resultante del auto.
Soluci´
on
Los vectores A y B representan el desplazamiento del auto y Rel desplazamiento resultante.

Figura 2: (a) Desplazamiento del vector resultante R,(b) Vectores sumados en orden inverso, nos entrega el
mismo resultado R.
Para encontrar la magnitud del vector R utilizaremos la ley del coseno, esta es R2 = A2 +B 2 −2AB cos θ,
donde θ = 180◦ − 60◦ = 120◦ . Por lo que tenemos
A2 + B 2 − 2AB cos θ

R=
=
=

√

(5)

(20km)2 + (35km)2 − 2(20km)(35km) cos 120◦
2325km2= 48,2km

La direcci´
on de R medida desde la direcci´on norte puede ser obtenida desde la ley del seno, es decir
sin β
sin θ
B
B
=
=⇒ sin β = sin θ =⇒ β = arcsin sin β = arcsin( sin θ)
β
R
R
R
Entonces
β = arcsin (

(6)

35km
) sin 120◦ = arcsin 0,629 = 38,9◦
48,2km

Por lo tanto el desplazamiento resultante del auto es de 48,2km en la direcci´on 38,9◦ al oeste del norte.
Suponga que el viaje setoma en orden inverso, 35km a 60◦ al oeste del norte y luego 20km al norte.
¿Como ser´ıa la magnitud y direcci´
on del vector resultante?
Respuesta
El resultado no deber´ıa cambiar. La ley conmutativa para la suma de vectores nos dice que el orden de los vectores en la suma es irrelevante. Gr´aficamente, la figura 2.b muestra que los vectores
sumados en el orden inverso nos entrega el mismo vectorresultante.

3. Encuentre la suma de dos vectores A y B que se encuentran sobre el plano xy y estan dados por
A = (2ˆi + 2ˆj)m

B = (2ˆi − 4ˆj)m

Soluci´
on
Sabemos que A = Axˆi + Ayˆj, B = Bxˆi + Byˆj y que
R = A + B = (Ax + Bx )ˆi + (Ay + By )ˆj.

2

(7)

De nuestro ejercicio sabemos que Ax = 2m, Bx = 2m, Ay = 2m y By = −4m. Reemplazamos estos
valores en la ecuaci´
on (7) y se obtiene
R = (2 +2)ˆim + (2 − 4)ˆjm = (4ˆi − 2ˆj)m

(8)

Donde Rx = 4m y Ry = −2m como sabemos.
Ahora la magnitud de R es encontrada como sigue
R=

Rx2 + Ry2 =

(4m)2 + (−2m)2 =

√

20m2 = 4,47m

(9)

Y su direcci´
on viene dada por
θ = arctan(tan θ) = arctan

Ry
Rx

= arctan

−2m
4m

= arctan(−0,5) = 26,6◦

(10)

Esta respuesta ser´ıa correcta si midiesemos el ´angulo en sentido horario desde el eje x. Pero laforma estandar de medir un ´
angulo, es en sentido antohorario desde el eje x. Por lo tanto el ´angulo
correspondiente a este vector es θ = 360◦ + (−26,6◦ ) = 333,4◦

4. Dados dos vectores A = (4ˆi + 3ˆj)m y B = (2ˆi − 3ˆj)m, encuentre:
a) A y B
Soluci´
on
A=

A2x + A2y =

(4m)2 + (3m)2 =

√

25m2 = 5mB

=

Bx2 + By2 =

(2m)2 + (−3m)2 =

√

13m2 = 3,6m

b) A + B
Soluci´
on
A + B = (Ax + Bx )ˆi +(Ay + By )ˆj = (4m + 2m)ˆi + (3m − 3m)ˆj = 6mˆi
c) A − B
Soluci´
on
A − B = (Ax − Bx )ˆi + (Ay − By )ˆj = (4m − 2m)ˆi + (3m − (−3m))ˆj = (2ˆi + 6ˆj)m

ˆ
ˆ
5. Una part´ıcula sufre tres desplazamientos consecutivos: d1 = (15ˆi+30ˆj+12k)cm
, d2 = (23ˆi14ˆj−5k)cm
ˆ
ˆ
y d3 = (−13i + 15j)cm. Encuentre las componentes del desplazamiento resultante y su magnitud.
Soluci´
on
La forma a proceder es similar...